KSZTAŁT ZIEMI

W połowie XVII w. kształt i rozmiary ziemi zostały ściślej określone. Wiek XVIII-XX to kolejne badania stwierdzające , że nie jest ona idealną kulą .

Kształt Ziemi zbliżony do elipsoidy obrotowej wpływa na zmianę przyspieszenia ziemskiego oraz zmianę wartości promienia.

Ziemia to bryła zwana geoidą , postacią swą zbliżona do elipsoidy obrotowej czyli do bryły powstałej przy obrocie elipsy dookoła swej małej osi.

GEOIDA -jest to bryła ,której powierzchnia przebiega wszędzie prostopadle do kierunku siły ciężkości z uwzględnieniem zmian tej siły wywołanych ukształtowaniem pionowym powierzchni ziemskiej.

(Na lądach geoida przebiega nad elipsoidą , a na morzach poniżej elipsoidy.)

SFEROIDA -bryła powstała przy założeniu czysto teoretycznym, że powierzchnia Ziemi jest płynna .Po ustaleniu równowagi w każdym punkcie powierzchni ,sferoida byłaby prostopadła do kierunku działania siły ciężkości , który pokrywałby się z kierunkiem pionu w danym punkcie.

(Na równiku i biegunach sferoida i elipsoida pokrywałyby się , na φ = 45 ° sferoida przebiegałaby nad elipsoidą na wysokości 17 m. )

Dla zwykłych potrzeb nawigacyjnych (obliczeń ortodromicznych ) przyjmuje się ,że Ziemia jest kulą.

Wraz z rozwojem systemów radionawigacyjnych i satelitarnych ,w celu uzyskania większej dokładności zachodzi potrzeba traktowania Ziemi jako elipsoidę obrotową.

ELIPSOIDA JAKO FIGURA ZIEMI

ELIPSOIDA OBROTOWA -bryła powstała w wyniku obrotu elipsy dookoła mniejszej osi.

(Równik i równoleżniki są okręgami a południki elipsami)Wartość promienia elipsy zmienia się w zależności od szerokości geograficznej.

W rzeczywistości Ziemia nie jest elipsoidą lecz jest bardzo do niej zbliżona.

B_N

B_S

Bn ,Bs -Bieguny -punkty przebicia elipsoidy przez oś małą.

Równik i równoleżniki to okręgi.

Południki są elipsami

Elementy elipsoidy.

• a - duża półoś elipsoidy

• b - mała półoś elipsoidy (dookoła której obraca się Ziemia )

• f - spłaszczenie elipsoidy :

a - b

f =

a

• e² -mimośród elipsoidy:

a² - b²

e² =

a²

Półoś a - decyduje o rozmiarach elipsoidy .

Mimośród i spłaszczenie - określają kształt elipsoidy.

Pomiarami elementów elipsoidy ziemskiej zajmowali się min. :.Clark , Bessel , Hayford , Krassowski.

Wg. Bessel^'a : wg Krassowskiego : WGS- 84

a= 6377,4 km a = 6378,2 km a= 6378,173 km

b = 6356,08 km b = 6356,86 km b=6356,752314 km

f = 1 : 299,2 f = 1 : 298,3 f= 1: 298,257223563

W zwykłych zadaniach nawigacyjnych zakłada się, że Ziemia jest kulą równą co do objętości elipsoidzie ziemskiej stąd :

V_k = V_E

4 4

п R³ = п a² b => R ³ = a ² b => R = ³√a ² b

• 3

dla elipsoidy Bessel^' a : R = 6370,3 km

dla elipsoidy WGS-84 : R = 6371,024763 km ,

WSPÓŁRZĘDNE NA ELIPSOIDZIE.

Stosując elipsoidę jako powierzchnię odniesienia należy oczekiwać , iż współrzędne geograficzne odniesione do Ziemi jako kuli nie będą równe współrzędnym wyznaczonym na Ziemi jako elipsoidzie.

Celem wyznaczenia położenia punktu na elipsoidzie stosuje się następujące układy współrzędnych:

• układ współrzędnych geograficznych elipsoidalnych ( geodezyjny )

• układ współrzędnych geocentrycznych

• układ współrzędnych astronomicznych

• układ współrzędnych zredukowanych

• układ współrzędnych prostokątnych przestrzennych

Rys Szerokość geograficzna, geocentryczna, zredukowana.

Długość geodezyjna λ punktu na elipsoidzie , długość geocentryczna, długość astronomiczna oraz długość zredukowana jest to kąt pomiędzy płaszczyzną południka zerowego i płaszczyzną południka danego punktu.

Szerokość geograficzna (geodezyjna ) punktu na elipsoidzie ϕ_e jest kątem w płaszczyźnie elipsy południkowej pomiędzy płaszczyzną równika i normalną do powierzchni elipsoidy w danym punkcie.

tg Ψ

tg ϕ_e =

( 1- e² )

normalna do elipsoidy

Rys. Szerokość geodezyjna

.

Szerokość geocentryczna ψ punktu jest to kąt utworzony przez promień wodzący (łączący punkt ze środkiem mas Ziemi ) danego punktu ( OP) z płaszczyzną równika.

b²

tg Ψ = . tg ϕ = ( 1- e² ) tg ϕ_e

a²

P Promień wodzący punktu P

Rys. Szerokość geocentryczna

Szerokość astronomiczna φ_A punktu jest to kąt pomiędzy kierunkiem działania siły ciężkości a płaszczyzną równika

Linia pionu

.

Szerokość zredukowana Φ punktu jest to kąt pomiędzy płaszczyzną równika a prostą ( OA₁) łączącą środek elipsoidy z rzutem danego punktu (równoległym do małej osi b ) na okrąg utworzony przez dużą półoś elipsoidy

Celem wyznaczenia szerokości zredukowanej określamy punkt A na elipsie południkowej. Następnie ze środka elipsy zataczamy okrąg o promieniu równym wielkością półosi dużej a.

Z punktu A kreślimy prostopadłą do półosi a oraz przedłużamy ją do przecięcia z wykreślonym okręgiem otrzymując punkt A₁

Rys. Szerokość zredukowana

Związki zachodzące pomiędzy szerokością geodezyjną a szerokością geocentryczną i zredukowaną pozwalają wyliczać jedną z szerokości za pomocą pozostałych.

• Szerokość zredukowana w funkcji szerokości geograficznej:

tg Φ =√ 1- e² tg ϕ_e ;

• szerokość zredukowana w funkcji szerokości geocentrycznej:
  tg Ψ

tg Φ =

√ 1- e²

• maksyma różnica między szerokością geograficzną i geocentryczną:

e²

( φ_e -ψ )max = sin 2 φ_e

2

gdzie:

Φ - szerokość zredukowana

ϕ_e - szerokość geodezyjna (geograficzna )

Ψ -szerokość geocentryczna

UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH PRZESTRZENNYCH

Położenie punktu na elipsoidzie można wyznaczyć za pomocą współrzędnych prostokątnych przestrzennych: X, Y, Z odniesionych do płaszczyzny równika i dwóch płaszczyzn południkowych

wzajemnie prostopadłych.

Styczna normalna

Środek geometryczny elipsoidy

Rys .Współrzędne prostokątne przestrzenne.

• Początek układu pokrywa się ze środkiem geometrycznym elipsoidy

• Oś Z skierowana jest do bieguna ziemskiego

• Oś X leży w płaszczyźnie południka zerowego

• Oś Y dopełnia prawoskrętny ortogonalny układ współrzędnych

Zależności między współrzędnymi prostokątnymi przestrzennymi i współrzędnymi geograficznymi przedstawiają się następująco:

UKŁADY ODNIESIENIA WSPÓŁRZĘDNYCH

Układ odniesienia - to konkretny układ współrzędnych w ścisły sposób związany z ciałem fizycznym lub układem ciał fizycznych , dla którego określono powierzchnię odniesienia , położenie początku układu , rodzaj współrzędnych.

Układ odniesienia obejmuje:

• powierzchnię odniesienia ( elipsoidę)

• 
  zorientowanie elipsoidy tj.:

• punkt przyłożenia elipsoidy do geoidy

• zorientowanie w bryle geoidy.

Orientowanie elipsoidy polega na równoległym ułożeniu małej osi elipsoidy do osi obrotu Ziemi i jednoczesnej równoległości pozostałych obu osi elipsoidy do tych samych osi geoidy.

Układy odniesienia stosowane w nawigacji :

1. Lokalne (np.: ED 50, PUŁKOWO 42,NAD 1983, OSGB 1936)

2. Globalne ( geocentryczne ): WGS 72, WGS 84

LOKALNE UKŁADY ODNIESIENIA WSPÓŁRZĘDNYCH

Są to układy współrzędnych oparte na różnych elipsoidach ,których parametry określono poprzez pomiary głównie naziemne. Zorientowanie elipsoidy polega na określeniu punktu przyłożenia w taki sposób, aby powierzchnia elipsoidy na danym obszarze ,była zbliżona do powierzchni geoidy. Początek układu lokalnego znajduje się w środku geometrycznym elipsoidy odniesienia, który nie pokrywa się ze środkiem mas ziemi. Lokalne układy służyły do odwzorowania obszarów znajdujących się w pobliżu punktu przyłożenia, często więc mają charakter narodowy- lokalny. Na świecie istnieje kilkaset układów lokalnych.

UKŁADY GLOBALNE- GEOCENTRYCZNE

Obecnie podstawową elipsoidą globalną (dla systemów satelitarnych jak i dla nowo opracowywanych map ) jest elipsoida WGS-84, która najbardziej aproksymuje geoidę w każdym jej punkcie , a nie tylko w obszarze dopasowania

Współrzędne WGS84 odnoszą się do układu współrzędnych ziemskich ortokartezjańskich, realizowanym na bazie zmodyfikowanego układu NSWC 9Z-2 (WGS72 - NNSS TRANSIT).

• Początek układu współrzędnych WGS84 pokrywa się ze środkiem mas Ziemi ,który jest jednocześnie środkiem geometrycznym elipsoidy WGS84

• oś Z jest skierowana do umownego bieguna ziemskiego (Conventional Terrestrial Pole - CTP). Oś Z jej osią obrotu.

• Kierunek osi X jest wyznaczony przez przecięcie płaszczyzny południka początkowego i płaszczyzny równika

• oś Y uzupełnia prawoskrętny ortogonalny układ współrzędnych.

Modyfikacje układu NSWC 9Z-2 są następujące:
- przesunięcie początku układu NSWC 9Z-2 o wielkość 4.5 m na południe

wzdłuż osi Z,
- obrót południka odniesienia układu NSWC 9Z-2 o kąt 0.814 arc sek (0,554”)

wokół osi Z do kierunku zdefiniowanego przez BIH (na początek 1984) jako

południk zerowy,
- zmiana skali układu NSWC 9Z-2 o -0.6 ppm.

Transformacja współrzędnych stacji dopplerowskich (WGS72) do układu WGS84 nastąpiła przy zastosowaniu wzorów transformacji Mołodienskiego z użyciem powyższych parametrów.

Podstawowy problem transformacji współrzędnych to znajomość parametrów transformacji i formuł matematycznych.

W zależności od zdefiniowanych parametrów transformacji rozróżnia się transformację:

• 3-parametrową- uwzględniająca przesunięcie środków układów o ΔX, ΔY, ΔZ

• 7-parametrową- uwzględniająca przesunięcie środków układów o ΔX, ΔY, ΔZ,

oraz
- kąty obrotów wokół kolejnych osi układów pierwotnych

m - parametr zmiany skali układu

TRANSFORMACJA 3 PARAMETROWA- METODA BEZPOŚREDNIA

Założenia:

• Jeden z układów jest układem geocentryczny

• Środek układu to środek geometryczny elipsoidy

• Oś Z pokrywa się z osią obrotu elipsoidy

• Oś X leży w płaszczyźnie południka początkowego

• Płaszczyzna XY pokrywa się z płaszczyzną Równika

• Znane są parametry transformacji ΔX, ΔY, ΔZ

Z_WGS

Z_L

Y_L

Y_WGS Y_WGS

X_L

X_WGS

1. Przeliczanie 2.Transformacja 3.Przeliczanie

TRANSFORMACJA 3 PARAMETROWA- METODA BEZPOŚREDNIA

Założenia:

• Jeden z układów jest geocentryczny

• Środek układu to środek geometryczny elipsoidy

• Oś Z pokrywa się z osią obrotu elipsoidy

• Oś X leży w płaszczyźnie południka początkowego

• Płaszczyzna XY pokrywa się z płaszczyzną Równika

• Znane są parametry transformacji ΔX, ΔY, ΔZ

1. Przeliczanie współrzędnych geograficznych na prostokątne przestrzenne w układzie wyjściowym ( WGS 84)

X = ( N + H ) cos φ cos λ

Y = ( N + H ) cos φ sin λ

Z = [ N ( 1 - e² ) + H ] sin φ

2. TRANSFORMACJA 3 parametrowa

Do układu lokalnego dodajemy wartości poprawek

Od układu geocentrycznego odejmujemy wartości poprawek

3. Przeliczanie współrzędnych prostokątnych przestrzennych na geograficzne w układzie lokalnym metodą kolejnych przybliżeń

λ = arc tg
; φ₁ =
; N₁ =
; H₁ =

obliczenie kolejnych przybliżeń φ i H

φ_i =
); N_i =
; H_i =

aż :φ_i - φ_i-1 < ε; H_i - H_i-1 < ε . a ( gdzie ε - założona dokładność np. ε= 10 ^-7 radiana, a - duża półoś elipsoidy

Gdzie :

N =
- promień przekroju pierwszego wertykału ;

e² =
kwadrat pierwszego mimośrodu ; a - duża półoś elipsoidy ; b - mała półoś elipsoidy

X,Y,Z - współrzędne prostokątne przestrzenne ; φ,λ, H - współrzędne geograficzne ( geodezyjne)

METODA MOŁODIEŃSKIEGO

Metoda polega na obliczeniu poprawek do współrzędnych Δϕ”, Δλ”, ΔH[m] z uwzględnieniem 3 parametrów transformacji ΔX, ΔY, ΔH.

Metoda była zalecana przez IHO przy transformacji z WGS 72 do WGS 84

Założenia transformacji :

• Układy odniesienia są wzajemnie równoległe

• Środki układów przesunięte o wektor r

• Jeden z układów jest układem geocentrycznym

gdzie:

ρ^” = 206264,806246- wartość radiana wyrażona w sekundach

1. duża półoś elipsoidy lokalnej, b- mała półoś elipsoidy lokalnej

f =
- spłaszczenie elipsoidy lokalnej

e - pierwszy mimośród elipsy południkowej

- N - promień krzywizny pierwszego wertykału

- M - promień krzywizny południka

∆f - różnica spłaszczeń elipsoid; ∆a- różnica wartości dużych półosi elipsoid,

∆a = a_WGS -a _{L ,} ∆f = f_WGS - f_L ( przeliczając z układu lokalnego do geocentrycznego)

∆a =a _L - a_{WGS ,} ∆f = f _L - f_WGS ( przeliczając z układu geocentrycznego do lokalnego)

∆X, ∆Y, ∆Z -poprawki współrzędnych prostokątnych przestrzennych ; φ,λ,H- współrzędne geograficzne punktu

TRANSFORMACJA 7-PARAMETROWA.

Polega na uwzględnieniu siedmiu parametrów transformacyjnych, a mianowicie:

• ΔX, ΔY,ΔZ - wartości przesunięć środków układu

-
- kąty obrotów wokół kolejnych osi układów pierwotnych

• m - parametr zmiany skali układu

Wzory na transformację z układu WGS 84 do Pułkowo 42:

X_K = ΔX + (1 + 0.8407728 ⋅ 10^-6 ) ⋅ X_G + ε_z ⋅Y_G + ( -ε_y ⋅ Z_G )

Y_K = ΔY - ε_z ⋅ X_G + (1 + 0.8407728 ⋅ 10^-6) ⋅ Y_G + ε_x ⋅ Z_G

Z_K = Δ Z + ε_y ⋅ X_G + ( - ε_x ⋅ Y_G ) + (1 + 0.8407728 ⋅ 10^-6) ⋅ Z_G

ΔX = −33.4297 m,

ΔY = +146.5746 m,

Δ Z = +76.2865 m,

m = 1 + 0.8407728 ⋅ 10^-6

ε_x = −1.7388854 ⋅ 10^-6 [rad] = −0.35867 ”

ε_y = −0.2561460 ⋅ 10^-6 [rad] = −0.05283 ” ε_z = + 4.0896031 ⋅ 10^-6 [rad] = +0.84354 ”

Współrzędne geodezyjne φ, λ na elipsoidzie Krassowskiego w stosunku do współrzędnych WGS 84 są:

• większe o średnio ok. 1” w szerokości φ

zmiana szerokości geodezyjnej φ o 1” odpowiada przyrostowi łuku

południka o ok. 30 m,

• większe ok. 6.5” w długości λ, zmiana długości λ o 1” daje przyrost długości łuku równoleżnika ok. 20m

Rys.5.4. Latarnia Razewie w układzie Pułkowo '42 w stosunku do układu WGS-84

Rys. 5.6. Latarnia Rozewie w układzie WGS-72 w stosunku do układu WGS-84

Rys Położenie latarni Rozewie w różnych układach

LEGENDA do rysunku

• 1942 met..7-parametrowa 54°50,055651'N 18°20,113823'E

• 1942 met. Mołodieńskiego 54°50,071'N 18°20,056'E

• 1942 met. bezpośrednia 54°49,95959'N 18°19,88025'E

• ED50 met. 7-parametrowa 54°50,071'N 18°20,058'E

• ED50 met. Mołodieńskiego 54°50,071'N 18°20,057'E

• ED-50 met. bezpośrednia 54°49,98982'N 18°19,93719'E

• WGS-72 met. 7-parametrowa 54°50,036'N 18°20,006'E

• WGS-72 met. Mołodieńskiego 54°50,036'N 18°19,997'E

• WGS-72 met. bezpośrednia 54°49,978813'N 18°19,996537'E

WGS-84 54°50,037'N 18°20'E - punkt odniesienia

H - wysokość nad powierzchnię elipsoidy

Powierzchnia geoidy

Środek mas Ziemi

układ lokalny

O

układ

lokalny

ϕ_e

Φ

Elipsa południkowa

a

Okrąg o promieniu równym dużej płosi a

ϕ

A

A₁

a

b

O

a. bbb a

O

bjjjb

bb b

b

N

Pułkowo'42 met. bezpośrednia

D=189,7245m kąt=40,82596˚

200

160

180

140

Pułkowo'42 met. Mołodieńskiego

D=89,519m kąt=45,161˚

100

120

80

Pułkowo'42 met. 7-parametrowa

D=129,7330122m kąt=74,647729˚

60

40

20

metry

WGS-84

W

E

0

S

metry

0

E

W

WGS - 84

WGS-72 met. 7-parametrowa

D=10,300975m kąt=101,5116˚

WGS-72 met. Mołodieńskiego

D=2,793m kąt=180˚

10

30

20

40

60

50

70

90

80

100

WGS-72 met. bezpośredenia

D=107,95703m kąt=180˚

120

110

S

2. TRANSFORMACJA

=

przeliczenie

ϕ

λ

H

X

Y

Z

Parametry

transformacji

WGS-84

X

Y

Z

przeliczenie

ϕ

λ

H

ΔY

Środek mas

r

ΔZ

ΔX

Elipsoida lokalna

geoida

Elipsoida geocentryczna

Obszar dopasowania elipsoidy do geoidy

ε

O

ϕ_A

O

O

r

a

A₁

A

Okrąg o promieniu równym dużej płosi a

a

Φ

Elipsa południkowa

A

90⁰ + ϕ

y

x

y

z

z

ϕ

---