0171

172 III. Pochodne i różniczki

a więc pochodna y istnieje i równa się

y'=(u±v)' = u'±v'.

Wynik ten można łatwo uogólnić na dowolną liczbę składników (i przy tym tą samą metodą).

III.    Przy tych samych założeniach o funkcjach u i v udowodnimy, że funkcja y=uv ma również pochodną i obliczymy ją.

Przyrostowi Ax odpowiadają jak i wyżej przyrosty Au, Av i Ay, przy czym y+Ay= — (u+Au)(v + Av). Tak więc

Ay = Awv + u- Av + Au-Av

oraz

Ay Au    Av    Au

— = — v + u--1--Av .

Ax Ax    Ax    Ax

Ponieważ przy Ax->0 na mocy ustępu 96, 2° także i Av-+ 0, przeto

Ay Au    Av

lim —= lim —r+u lim —=uv + uv , ax-*qAx    ax-*oAx    ax~*o    Ax

tj. istnieje pochodna y', równa

y' ={uv)' = u'v + uv'.

Jeśli y=uvw, przy czym istnieją pochodne w', v', w’, to

y' = [(uti) w]'=(uv)' w + (uv) w' = u'vw + uv'w + uvw'.

Łatwo pojąć, że w przypadku n czynników otrzymamy analogicznie

n

(4)    [urw... s]' = u'tnv... s + ut/w... s + utw'... s+... + uvw... s'.

Aby to udowodnić, skorzystamy z metody indukcji matematycznej. Przypuśćmy, że wzór (4) jest słuszny dla pewnej liczby n czynników; stwierdzimy jego słuszność dla n +1 czynników:

b+ 1    n

\uvw... st]' = [(urw... s) t]'={uvw... s)'t + (uvw ...s)t' ;

jeśli pochodną (uvw ■■■ s)' obliczymy według wzoru (4), to otrzymamy wzór

[uuw... st]' = u'«w... st+uu'w... st+ ... + uuw ...s't + uvw ...st',

w zupełności analogiczny do wzoru (4). Ponieważ o tym, że wzór (4) jest słuszny dla n=2 i 3, przekonaliśmy się bezpośrednio, wzór ten jest słuszny dla każdego n.

IV.    Udowodnimy wreszcie, że jeżeli u, v spełniają poprzednie założenia i oprócz tego v nie równa się zeru, to funkcja y=u/v ma również pochodną i obliczymy ją.