0465

466

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Jeśli weźmiemy np. w płaszczyźnie xz półokrąg

x=Jłsini/, z=Rcosu

i będziemy go obracali dokoła osi z, to równania parametryczne otrzymanej w ten sposób sfery tylko oznaczeniami będą się różniły od równań znalezionych poprzednio.

Pozostawiamy czytelnikowi przekonanie się o tym, że punktami osobliwymi powierzchni obrotowej mogą być jedynie punkty leżące na osi obrotu oraz punkty otrzymane przy obrocie z punktów osobliwych tworzącej.

Liniami współrzędnych są tutaj także wszystkie położenia tworzącej (południki) i równoległe okręgi — równoleżniki.

5) Jeżeli krzywą (16) będziemy nie tylko obracali, lecz także przesuwali jednocześnie ruchem postępowym równolegle do osi obrotu, to otrzymamy, zakładając, że obydwa ruchy są jednostajne, ogólną powierzchnię śrubową

x = <p(u) cosu,    y =?>(«) sin t>,    z=i//(u)+cv.

Weźmy w szczególności jako tworzącą dodatnią półoś x:

x = u,    z = 0,    (u> 0).

Poddając ją ruchowi śrubowemu otrzymujemy zwykłą powierzchnię śrubową

x=u co$v,    y=wsint), z=cd.

Dla ogólnej powierzchni śrubowej jedną rodzinę linii współrzędnych tworzą różne położenia tworzącej (t» = const), a drugą rodzinę — linie śrubowe (u=const).

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

230. Styczna do krzywej płaskiej we współrzędnych prostokątnych. Z pojęciem stycznej spotykaliśmy się już nieraz (patrz np. ustęp 91). Krzywa dana równaniem

y-/(*),

gdzie f(x) jest funkcją ciągłą o ciągłej pochodnej, ma w każdym swoim punkcie (x, y) styczną, której współczynnik kierunkowy tg a wyraża się wzorem

tga = /=/'(x).

Równanie stycznej ma zatem postać

(1)    Y-y = y'(X-x).

Tutaj, podobnie jak i w dalszym ciągu, X i Y oznaczają współrzędne bieżące punktu stycznej, a x i y — współrzędne punktu styczności.

Łatwo też otrzymać równanie normalnej, tj. prostej przechodzącej przez punkt styczności i prostopadłej do stycznej

Y-y=--,(X — x),    czyli    .y —jc-ł-y^y —y) = 0.

y

(2)