130 131 (3)

130

Przestrzenie euklidesowe

b) Niech {ej. 52,^3, e^} będzie bazą standardową przestrzeni E^Ą. Wiersze współrzędnych wektorów v\, V* uzupełniamy o wiersz jednostkowy (0,0,0, 1). Marny

	ei	C2		€ą		et	e2 h	Cl
	1	1	1	2	= (-2.3,-1,0), v,=	1	1 i	2
Vn =	2	1	-1	-1		2	1 -1	-1
	0	ó	o"	1		-2	3 -1	0

= (0, 7,21, -14).

c) Współrzędne [0,-1, 1,0) wektora x² - x w bazie {l,x,x²;x³} uzupełnimy do układu liniowo niezależnego o dwa wiersze (0,0,1 0], [0 0,0,1]. Kolejne trzy wektory bazy ortogonalnej wyznaczamy z zależności:

=

<h =

=

0-1 10 0    0    1    o

0    0    0    1    I

-1    1    o

0    0    0

o    o    i

2

xxx -1    1    0

0    0    0

-1    -1    o

= (-l)l+Ox+0r²+0 £*= -1,

= 0 • 1 + (-1) • z + (-1) z² + 0 x³ = -z - x^: = 0J + 0x + 0x² + (-2) • x³ = —2x³.

Zadania

O Zadanie 13.1

Sprawdzić, ze podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonor-malnyrru w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach:

€ JF²;

^{a)    5l =} (³/iWi) ^5s=(v^VS)'^{5 = (5}-⁶⁾

^b)    = (1,3, -2), e₂ = (-1,1,1), v₃ = (5, 1,4), u = (1,0,1) 6 JF³

c)    5, = (1,1,1,1),    = (3, -1, — 1, — 1),»j = (0,2, — 1, — 1), 5₄ = (0,0,1,-1),

“ ⁼ (1.2,-3,2) € £⁴;

^{d)    5i=}

^ ⁼    Vf ■^0> vl) •°- \^- V^) ■ ³⁼⁽¹*²'³'^{4) 6 £4;}

e) pj = 1, p₂ = 2 — z. p₃ = 6 - 3z - z², ę = r² + r + 3 w przestrzeni Rj[ar] z iloczynem skalarnym wielomianów q_: = ar² + kr + c, q₂ = a,r² + 6ir -h c\ określonym wzorem

(¥i.*₂) = <mi + (3a — 6) (3a, - 6,) + (26 + c)(26, + c,).

O Zadanie 13.2

zbiorów funkcji w odpowiednich przestrzc-

w przestrzeni C([0,2ff]) z iloczynem ska-

Uzasadnić ortonormalność podanych mach euklidesowych

1 cosx sinr cos2x sin2x

i /— i /— i    t— •    /— i

_v^/r v*    V* v^t

larnyrn zdefiniowanym wzorem

b^t]po = l.Pn =

, gdzie n G A\

2 "n!    dx^r*

skalarnym określonym wzorem

dx\

w przestrzeni #[x] z iloczynem

p(ar)^(x)dx

O Zadanie 13.3

Zortogonalizować metodą Grama-Schrnidta podane wektory w odpowiednch przestrzeniach euklidesowych:

a)    (2,1,3} (1,6,2) w przestrzeni E²\

b)    (1,0,0} (0, 1,0),(0,0, 1) w przestrzeni R² z iloczynem skalarnym wektorów z = (zj, Z2 Z3}. y = (3/13/2.2/3) zdefiniowanym wzorem

(z,y) = [xi z₂ x₃]

2-10'		yi
-1 1 0		yi
0 0 2 ^L. • T- 4 ^J		. y3 .

^c)

d)

e)

(0,1, l, 0), (-2.0,2,0), (3.1,1,1) w przestrzeni E^A,

1, x -+- l,|r|,sinx w przestrzeni C([—1,1]) z iloczynem skalarnym określonym

wzorem

1

(/. 9) = J fix)g[z)dx. -1

O Zadanie 13.4

Znaleźć bazy ortogonalne danych przestrzeni euklidesowych zawierające wskazane wektory:

a)    (1, -1,2) w przestrzeni E²\

b)    (1, 1,1, I) w przestrzeni E^A;

c)    (1,0,1,1), (0,1,1,-L) w przestrzeni E⁴,

d)    (1,0,3,-2), (-1,0,1. 1), (5,0, 1,4) w przestrzeni £⁴;

e)    (3,2, 3, 5) w przestrzeni E = {(x, y, z, t) E E^Ą : x + y = y-fr = t};