14 09 2009

Egzamin z Matematycznych metod fizyki i astrofizyki I

Drugi termin: 14.09.2009 r.

1.    (4 punkty)

Niech {x_n}n₌i będzie zbiorem ortonormałnym w przestrzeni unitarnej V, a x dowolnym jej elementem. Proszę podać definicję przestrzeni unitarnej i korzystając z niej sprawdzić, czy J2n=i(^xn\x)x_n jest ortogonalne do

N

X - Jf(x_n\x)x_n.

71=1

Proszę zaznaczyć, które właściwości iloczynu skalarnego zostały wykorzystane w kolejnych krokach obliczeń.

2.    (4 punkty)

Proszę udowodnić, że:

a)    wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste,

b)    wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.

3.    (4 punkty)

Wielomiany Legedre’a P_n{x) spełniają równanie różniczkowe Legendre’a

d

dx

+ n(n + 1 )P_n(x) = 0.

Opierając się na powyższym równaniu różniczkowym wykazać ich ortogonalność w przedziale

[-1,1].

4.    (4 punkty)

Rozważamy równanie przewodnictwa ciepłego

du , d²u

m^=kd?'o ^i>0-

wraz z warunkami brzegowymi u(0,t) — u(L,t) — 0 (k jest stałą). Stosując metodę separacji zmiennych znajdź szczególne rozwiązanie tego problemu.

5.    (5 punktów)

Dla układu dynamicznego:

~ = V2x+2y,

a)    wyznaczyć położenie punktów krytycznych i dokonać ich klasyfikacji,

b)    podać w postaci parametrycznej rozwiązania na kierunkach własnych,

c)    narysować przestrzeń fazową układu z zaznaczeniem punktów krytycznych i kierunku wzrostu zmiennej t.