2012 10 08 367

18 MYŚLENIE W SYTUACJI PROBABILISTYCZNEJ

1.2. Zasada addytywności

Co oznacza stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła przy rzucie monetą wynosi 1 /2? Zgodnie z założeniem, które stoi za tym stwierdzeniem, dla rozważanej sytuacji możemy określić wszystkie możliwe wyniki (zdarzenia, stany świata). Przy rzucie monetą są tylko dwa możliwe wyniki - wypadnięcie orła lub reszki, przy rzucie kostką jest sześć możliwych wyników - wypadnięcie liczby oczek od 1 do 6. Prawdopodobieństwo definiuje się na zbiorze możliwych zdarzeń. Łączne prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń w zbiorze, czyli zdarzeń komplementarnych, wynosi 1, co odzwierciedla przekonanie, że nic innego zdarzyć się nie może. W sytuacjach takich jak rzut monetą czy kostką, prawdopodobieństwo każdego możliwego zdarzenia jest takie samo i oczywiście łatwe do obliczenia, zgodnie z regułą podaną przez Cardano. Ale nie zawsze tak musi być. Wyobraźmy sobie, że jedziemy pociągiem i zastanawiamy się, czy mężczyzna siedzący obok jest żonaty. W tej sytuacji oceniamy prawdopodobieństwo na podstawie naszego wyobrażenia o świecie, które włącza takie informacje, jak wiek, wygląd zewnętrzny, sposób zachowania itd. Możemy też uwzględnić nasze intuicje czy odczucia. Na tej podstawie formułujemy subiektywne przekonanie na ten temat, np. że jest 70% szans, że jest on żonaty i 30%, że nie jest żonaty. Wyobraźmy sobie dalej, że w trakcie rozmowy okazało się, że mężczyzna nie jest żonaty. Wiemy już teraz z całą pewnością, że nie ma on żony - prawdopodobieństwo wynosi 1. Nie wiemy jednak, czy jest on kawalerem, rozwodnikiem czy też wdowcem. Symbolicznie możemy to zapisać w następujący sposób:

p (sąsiad w pociągu nie ma żony) = p (kawaler) + p (rozwodnik) + p (wdowiec).

Teraz z kolei będziemy oceniali, jak prawdopodobna jest każda z tych trzech możliwości, wiedząc jednak, że ich łączne prawdopodobieństwo wynosi 1.

Opisana wyżej zasada, zwana zasadą addytywności, jest jedną z podstawowych zasad logicznych, na których opiera się logika formułowania sądów o prawdopodobieństwie. Zgodnie z tą zasadą, prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia, to suma prawdopodobieństw jego rozłącznych wyników. Stosuje się ona zarówno do zdarzeń pojedynczych (wypadnięcie orła lub reszki, stan cywilny określonej osoby), jak i do zdarzeń powtarzających się (czę-stościowych, np. przyczyny zgonów w populacji). Addytywność stosuje się także, gdy możliwe zdarzenia nie są równie prawdopodobne. Zgodnie z najogólniejszym sformułowaniem zasady addytywności, prawdopodobieństwo zdarzeń komplementarnych sumuje się do 1.

1.3. Zasada włączania i zasada koniunkcji

Inne bardzo podstawowe prawa rachunku prawdopodobieństwa, to zasada włączania i zasada koniunkcji. Rozważmy jeszcze raz przykład sąsiada z pociągu -zastanawiamy się, czy jest on żonaty, czy nie. A jeśli nie jest żonaty, to jakie jest

prawdopodobieństwo, że jest wdowcem. Jak stwierdziliśmy wcześniej, wszystkich ocen dokonujemy na podstawie pewnych wyobrażeń o świecie, odczuć i intuicji. Ktoś może uznać, że prawdopodobieństwo, iż mężczyzna w pociągu nie jest żonaty wynosi 30%, a ktoś inny, że 60%. Ponieważ oceny takie wyrażają nasze subiektywne przekonanie, to oczywiście same wielkości nie podlegają ocenie. Ważne jest jednak, aby oceny te spełniały podstawowe warunki logiczne. I tak osoba, która oceniła prawdopodobieństwo, że mężczyzna nie jest żonaty na 30%, nie może ocenić wyżej prawdopodobieństwa, że jest on kawalerem. Podobnie jak nie można ocenić wyżej prawdopodobieństwa, że przelatujący obiekt to szpak, w stosunku do prawdopodobieństwa, że jest to ptak². To stwierdzenie zgodne z najbardziej podstawą logiką wyraża się w postaci dwóch zasad w teorii rachunku prawdopodobieństwa (por. Rycinę 1).

• Zasada włączania    • Zasada koniunkcji

Rycina 1. Zasada włączania i zasada koniunkcji

Zgodnie z regułą włączania, jeżeli B (byde szpakiem) zawiera się w A (byde ptakiem), to prawdopodobieństwo A musi być wyższe niż B lub równe B. To samo wyraża zasada koniunkcji - byde urzędniczką, czyli bycie kobietą i urzędniczką nie może być bardziej prawdopodobne niż bycie kobietą lub byde urzędnikiem (por. Rydna 1). Bardziej ogólnie - prawdopodobieństwo A i B musi być mniejsze niż prawdopodobieństwo A lub prawdopodobieństwo B. Koniunkcja nie może być bardziej prawdopodobna niż każdy z jej elementów, niezależnie od tego, czy A i B to zdarzenia zależne czy też niezależne.

Przykład ten został zasugerowany przez jednego z recenzentów.