egzamin dodatkowy 07 2008

Egzamin dodatkowy z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2007/2008

ZADANIA

Zad.Zl [lOp - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Zbadać monotoniczność funkcji f(x) = (x² + I)e“^x . Dla jakich wartości x € R funkcja / jest jednocześnie malejąca i wklęsła (”(T).

Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2)

Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x) = 3x + arctg Zad.Z3 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 3)

Obliczyć długość luku krzywej określonej we współrzędnych biegunowych równaniem r(ip) = cos² | dla 0 < (p ^ ir.

Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4)

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji f(x) dookoła osi OX.

Zad.Z5 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 5)

Rozwiązać równanie macierzowe AX = 4X + IB , gdzie A

\Anx

dla x > 1

x

4    2

•1    4

Max. 39 pkt

TEORIA

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]    _

Sformułować twierdzenie o trzech ciągach. Obliczyć granicę lim Vn³ -f 3.

71—• CO

Zad.T2 (5p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Sformułować twierdzenie Lagrange’a. Podać jego interpretację geometryczną (sporządzić od-

1 — cos 2x

powiedni rysunek). Czy funkcja f(x) =

0

x⁴

spełnia założenia twierdzenia

Lagrange^ na przedziale [—1,1).

Zad.T3 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2] Rozłożyć na ułamki proste (bez wyznaczania stałych) funkcję

„ V    3x²

/(*) =

x³(x² - x 4- l)(x² + X + 1)

Zad.T4 [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

b

Podać interpratację geometryczną całki oznaczonej / f(x) dz oraz, korzystając z niej, obliczyć

a

całkę / >/25 — x² dx.

-5

Zad.T5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Podać trzy wybrane własności wyznacznika macierzy. Uzasadnić, korzystając z własności, że

sin^2	o	cos^2	a	0
cos^2	a	sin^2	a	1	= 0
1		1		1

Max. 21 pkt