843954R7600177274173�1034809 o

Egzamin z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2012/2013

ZADANIA

Zad.Zl [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Dane jest pole wektorowe F(x_t y_} z) = (3 cos x e^v , 3 sin x e^v - 2z sin y , 2 cos y - Zz²]. Sprawdzić czy pole to jest

potencjalne. Jeżeli tak, wyznaczyć, potencjał tego pola. Obliczyć / Fodf, gdzie krzywa L ma parametryzację

L

x(t) = sin2t, y(t) — sin3t, z(t) = sin4f, t G [0,

Zad.Z2 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Obliczyć masę luku L : x(Ł) = e^l, y(t) = e\ z(t) = t, t e (0,1), jeżeli g{x,y_yz) = xy.

Zad.23 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Wyznaczyć promień zbieżności, przedział zbieżność oraz

“    (— l)ⁿ(3x — 6)"

Dany jest szereg potęgowy >    - .    -

_n=o yn + I

zbadać zbieżność szeregu (i określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedziału zbieżności. Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

1

Dana jest funkcja f(x) =

x² 4- 6x + 18

Obliczyć /<⁴⁶>(—3).

Zad.Z5 (9p - rozwiązanie piszemy na stronie 5) Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zm. los. X:

. Rozwinąć funkcje f(x) i /^;(x) w szereg Taylora w otoczeniu xq = —3.

/(*:

-{

\x- 1| 0

*€ [0,2] xi [0,2)

Obliczyć P(l - X² ź 0). Wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X oraz narysować jej wykres. Obliczyć EX, D²X oraz D²(5X + 1).

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać kryterium całkowe zbieżności szeregu. Korzystając z tego kryterium wykazać zbieżność szeregu

Zad.T2 (5p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać twierdzenie Greena. Korzystając z tego twierdzenia obliczyć

J (2x -f y)dx - (x + 2y)dy_t L

gdzie luk L jest okręgiem zorientowanym ujemnie o równaniu (x — l)² + (j/ + l)² = 4.

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję punktu wyprostowania krzywej. Czy krzywa, dla której dla dowonego t: x(t) = -

. ^e' punkty wyprostowania.

Zad.T4 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Zm. los. X ma rozkład Bernoulliego, gdzie n = 20, p = 0,2. Obliczyć EX, D²X. Podać wzór (nie obliczać) na P{X = 2).

Zad.T5 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Zmienna losowa X ma rozkład N(2,2). Za pomocą tablic obliczyć P(-l < X < 3).

Max. 20 pkt