Egzamin 06 07 (termin I)

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2006/2007

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

a następnie

Sprawdzić, że A = 1 jest wartością własną macierzy

wyznaczyć zbiór wszystkich wektorów własnych tej macierzy, które odpowiadają wartości własnej

A = 1 .

Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = 5 yl~x~9 ^w j^ej dziedzinie naturalnej (sporządzić rysunek dziedziny).

Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć moment bezwładności względem osi OZ bryły jednorodnej o gęstości g(x, y, z) = Qq ograniczonej paraboloidą z — 2x² + 2y² i płaszczyzną z — 8 (sporządzić rysunek bryły). Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Korzystając z metody przewidywań rozwiązać równanie: y" + y = sina: .

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

W przedziale (0, +oo) wyznaczyć całkę ogólną równania y" — 2y' + y =

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podaj co najmniej trzy własności iloczynu wektorowego.

Zad.T2 [3p+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 i 2]

a) Wykażać, że proste l\ : 2=2 = f = ^ ¹ h. : ^    ^ = f są skośne.

b) Znaleźć kąt jaki tworzy płaszczyzna —x + y + \plz — 5 = 0 z płaszczyzną OYZ.

Zad.T3 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Napisać wzory na różniczkę zupełną funkcji f{x, y) pierwszego i drugiego rzędu.

Zad.T4 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć pochodną w punkcie (1,1) funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem: x²y + xy² — 2 = 0.

Zad.T5 [2p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Równanie różniczkowe y" + y{y')³ = 0 sprowadzić do równania rzędu pierwszego.

Zad.T6 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Podać definicję liniowej niezależności w przedziale 1 układu trzech funkcji fi(x), /b(^),

Max. 20 pkt