i termin

Egzamin z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2007/2008

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Rozwiązać nierówność:

log,(4¹ + 16)-log₂(2^I+1-6j | i Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wyznaczyć przedział, w którym f[x) — (x² — 3)e* jest jednocześnie malejąca i wklęsła (”(")”). Zad.Z3 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć długość luku krzywej danej wzorami: x(t) = cos t + ln tg | , y[t) = sin t dla Zad.Z4 [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

v/arctg x

dla z ^ l

-1    1    2

2    -1    1

3    1    0

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji f(x) — dookoła osi OX.

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Rozwiązać równanie macierzowe XA = B - 2X , gdzie A =

Max. 40 pkt

1

TEORIA

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać definicję asymptoty ukośnej prawostronnej funkcji f(x). Czy funkcja f(x) = ln(l - x) ma asymptotę ukośną prawostronną? Odpowiedź uzasadnić.

Zad.T2 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie lj

Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) w otoczeniu punktu xo z resztą zawierającą pochodną rzędu drugiego (odpowiednią resztę zapisać wzorem).

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Kiedy mówimy, że xq jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju funkcji f(x) ? czy funkcja f(x) = sgn x ma punkty nieciągłości drugiego rodzaju? Odpowiedź uzasadnić.

Zad.T4 [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję funkcji pierwotnej. Czy funkcja F{x) = x • arcsin y/x jest pierwotną funkcji

f(x) = arcsin \/x H--7= ■ ■ •■. ?

2

>Jx — x²

Zad.T5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Sformułować założenia o funkcji / , które gwarantują istnienie całki oznaczonej Riemanna b    [ J_ _x u 2

/ f(x)dx . Czy funkcja f(x) =    < *“^a    ₀ jest całkowalna w sensie Riemanna na

przedziale (1.3J? Odpowiedź uzasadnić.

Max. 20 pkt