E 07 2008

Egzamin z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2007/2008

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Rozwiązać nierówność:

log₂(4^x + 16) - log₂(2^x+1 - 6) ^ x

Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Wyznaczyć przedział, w którym f(x) = (z² — 3)e^x jest jednocześnie malejąca i wklęsła (”(T)-Zad.Z3 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Obliczyć długość łuku krzywej danej wzorami: x(t) = cos t 4- ln tg 1 , y(t) = sin t dla

t e

TT

4

TT

2

Zad.Z4 [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji f(x) = dookoła osi OX.

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

\/arctg x x

dla x ^ 1

Rozwiązać równanie macierzowe XA = B — 2X , gdzie A =

2 0    1

0 3    0

Max. 40 pkt

TEORIA

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać definicję asymptoty ukośnej prawostronnej funkcji f(x). Czy funkcja f(x) = ln(l - x) ma asymptotę ukośną prawostronną? Odpowiedź uzasadnić.

Zad.T2 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) w otoczeniu punktu x₀ z resztą zawierającą pochodną rzędu drugiego (odpowiednią resztę zapisać wzorem).

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Kiedy mówimy, że xo jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju funkcji f(x) ? czy funkcja /(;z) = sgn x ma punkty nieciągłości drugiego rodzaju? Odpowiedź uzasadnić.

Zad.T4 [5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Podać definicję funkcji pierwotnej. Czy funkcja F(x) = x • arcsin yfx jest pierwotną funkcji

T

/(:x) = arcsin yjx 4-

2 yjx — x

Zad.TS [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Sformułować założenia o funkcji / , które gwarantują istnienie całki oznaczonej Riemanna

i/2

x = 2

/ f(x)dx . Czy funkcja f(x) =

jest całkowalna w sensie Riemanna na

przedziale [1,3]? Odpowiedź uzasadnić.

Max. 20 pkt