img010

10

Przykłady

1* Dowolny zbiór Z wraz z funkcja

d_d(p,q)

0 dla p ■ q,

1 dla p jt q jest przeatrzanię Metryczna. Istotnie, wprost z definicji wynika, Ze funkcja d_d spełnia dwa pierwsze aksjomaty aetryki. Należy jaszcze sprawdzić, że Jest spełniony akcjomat trójkąta. Niech wiać p, q, r o-znaczaja dowolne trzy punkty zbioru Z. Cieśli d_d(p,r) ■ O, to d_d(p,q) ♦

♦    d_d(q.r) > O • d_d(p,r). Deśll natomiast d_d(p,r) - 1, to p > r i nie mogę zachodzić równocześnie równości p » q i q ■ rj dzięki temu d_d(p,q)e

♦    d_d(q,r) > i • d_d(p,r). Funkcję d_d nazywany metryką dyskretną, zaś parę (Z,d_d) - przestrzenia dyskretną.

2. Zbiór R* uporządkowanych układów n liczb rzeczywistych (p^.. ...,p_n) z funkcję

d(p.,) ^ «« jPi - 9,1.

gdzie p - (p_1#...,p_n), q - (q_1#...,q_n) tworzy przestrzeń setryczną E_n-Sprawdzimy, czy aa spełnione aksjonity metryki. Dast rzeczą oczywista* ze d(p,q) - O wtedy i tylko wtedy, gdy p - q oraz d(p,q) ■ d(q,p).

(^ri

Niech r

|qj" *j'

,r_n). Wówczas

.4 «ax |p.    <*_t\

14 14"

d(p%r) - max |p_t - r.I £ d(p,q) ♦ d(q.r) 14 14 n^{1 ł}

max jq_Ł - r^j » d(p,q). ♦ d(q,r), a zatam również

■'    *^J    -A

3i Zbiór Rⁿ wraz z funkcja d_k(p,q)    (p_± - q₁)²J^ zwana *5r

tryką kartezjańską*, tworzy przestrzeń metryczna Eⁿ, która nazywamy n wymiarową przestrzenia euklidesnwą (zobacz ćwiczenie 1.2).

Renę Descartea (31 III 1596 - 11 II 1650) - wybitny .filozof i ras tematyk francuski, zwony w Polsce Kartesjuszem. W matematyce wprowadził pojęcie zmiennej i funkcji, badał równania algebraiczne oraz odkrył me-* todę geometrii analitycznej. Zajmował się irównież fizyką formułując, m.in, prawa odbicia i załamania światła. V 'filozofii uważany jest za jednego z czołowych racjonalistów i od niego datuje się początek współczesnej folozofii.