img011

D. FUNKCJA PIERWOTNA, CAŁKA NIEOZNACZONA

Definicja 2.1

Funkcję rzeczywistą F mającą pochodną w każdym punkcie przedziału I aR (piszemy wówczas: Fe C«(/)) nazywamy funkcją pierwotną funkcji/w przedziale /, gdy

(2.1.)    A F'(x)=f(x)

Stwierdzenie 2.1

Nie każda funkcja rzeczywista f określona w przedziale I cR ma w tym przedziale funkcję pierwotną.

PRZYKŁADY 2.1. Pokażemy, że odwzorowanie

dla**0 dla* = 0

fo

(2.2.)    f :R 3 *->/(*):= nie ma funkcji pierwotnej w przedziale R = ]-»,+oo[.

Rzeczywiście zakładając, że / ma funkcję pierwotną F w przedziale I, otrzymujemy, że F'(x)=0 dla *e ]-~,0[u]0,+~[. Stąd zaś wynika, że funkcja F jest stała w każdym z przedziałów]—oo,0[,]0,+°°[ oddzielnie (dlaczego?). Ale F jest funkcją ciągłą na całej prostej R, gdyż z założenia FeCf_t(R). Wobec tego F(x) = const dla każdego x e R. Wobec

tego F'(x) = 0 dla każdego x e R, co jest sprzeczne z tym, że F'(0) = /(O) = 1 (zobacz (2.1) i (2.2)).

Niemal całkiem podobnie stwierdzamy, że funkcja/określona wzorem (2) nie ma funkcji pierwotnej w żadnym przedziale I cR takim, że 0 e I.

2.2. Rozważmy teraz odwzorowanie

(1    dla x wymiernych

-1    dla x niewymiernych

zwane funkcją Dirichleta. Pokażemy, że funkcja Dirichleta nie ma funkcji pierwotnej w żadnym przedziale IaR.

Rzeczywiście, niech / cR będzie dowolnym przedziałem i przypuśćmy, że istnieje funkcja pierwotna F funkcji Dirichleta D w przedziale /. Wówczas, na mocy definicji 2.1 oraz wzoru (2.3), pochodna F przyjmowałaby w przedziale I tylko dwie wartości: 1 i -1, gdyż do każdego przedziału, a więc i do przedziału /, należą wyłącznie liczby wymierne i liczby niewymierne (co więcej, zarówno jednych jak i drugich jest nieskończona ilość!). To zaś przeczy

11