img012

FUNKCJA PIERWOTNA. CAŁKA NIEOZNACZONA

twierdzeniu, iż funkcja mająca pochodną (skończoną) w każdym punkcie przedziału I ma tę własność, że w tym przedziale jej pochodna wraz z dowolnymi dwiema swoimi wartościami przybiera wszystkie wartości pośrednie (zobacz, np. [1], strony 207 i 208, lub [2], strona 91, twierdzenie 5.12).

Uważny Czytelnik z pewnością zauważy, że podobne rozumowanie można również przeprowadzić w uzasadnieniu przykładu 2.1.

Twierdzenie 2.1

Jeżeli funkcja rzeczywista f ma w przedziale I aR funkcję pierwotną F, to każda funkcja pierwotna funkcji f w tym przedziale jest elementem zbioru

(2.4)    {G:/->l?|G = .F+C,CeJ?}

i każdy element tegoż zbioru jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I.

Zbiór (2.4) opisuje więc w pełni rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji / w przedziale / pod warunkiem, iż znana jest chociaż jedna funkcja F spełniająca warunek (2.1).

Definicja 2.2

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji rzeczywistej / w przedziale I c R (tj. zbiór

(2.4) , gdzie F jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji / w przedziale I) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji/w tym przedziale i oznaczamy symbolem:

(2.5)    J f(x)dx.

Z dotychczasowych wywodów wynika, że jeśli znamy jedną funkcję pierwotną funkcji / w przedziale I cR, to całkę nieoznaczoną (2.5) otrzymujemy przez dodanie do niej (tj. do tej funkcji pierwotnej) dowolnej stałej C. Dlatego też, jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji /w przedziale /, to zgodnie z tradycją piszemy:

(2.6)    J f{x)dx = F(x) + C.

Zapis (2.6) nie jest precyzyjny, gdyż nie zawiera on informacji o przedziale I cR, a jego prawa strona również może budzić wątpliwości. W dalszym ciągu będziemy używać jeszcze bardziej uproszczonego zapisu:

(2.7)    \f{x)dx = F(x),

mając nadzieję, iż Czytelnik sam rozstrzygnie, w jakim przedziale wzór (2.7) jest słuszny, oraz że jest powszechnie wiadomo, iż po prawej stronie tego wzoru w rzeczywistości jest cała klasa (rodzina) funkcji różniących się stałą.

Definicja 23

Mówimy, że funkcja rzcczywista/jest całkowalna w sensie Newtona w przedziale I cR, gdy ma ona w tym przedziale funkcję pierwotną, a więc i całkę nieoznaczoną (zobacz twierdzenie 2.1).

Twierdzenie 2.2 ( o calkowalności w sensie Newtona)

Jeżeli funkcja rzeczywista fjest ciągła iv przedziale I cR (piszemy wówczas: / e C( /)), to jest ona całkowalna w sensie Newtona w tym przedziale.

12