img039

39

czyli

|x_k “ 9kj^^dk    ^r dla ^k * l#...»n i * > p

To zaś oznacza, ±e ^lim^S^ ■ 9_k dla k .■ l,...,n.

Załóżay teraz, źa _Kli^"_k - g_k dla k - 1.....n. Wówczas dla dowol

- 9_k| < ^r (k

»n)

nego r >0 la tnieje liczba naturalna p(r,k) taka, że dla wszystkich wskaźników m>p(r,k) spełniona jest nierówność I"

Stęd wynika, że

>

dla «.ćp(r' • max p(r,k) 1 4 k 4 n

d_k(5,g) •

Ll*l

co oznacza, że _mli»^x » g, bo r> 0 Jest liczbę dowolnę, a n jest ustalone.

Oowód twierdzenia 3.4 został więc zakończony.

Przykład

Korzystając z twierdzenia 3.4, wyznaczymy granicę ctęgu

l-3m ♦«

cos m,

(-3)»-^ł , 4"¹*²’ 4* . 3"*¹    .

(3.3)

m e N

n czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej E*. Zauważmy, że wystarczy wyznaczyć granice następujęcych cięgów liczbowych

{■*1 ■ |.

|^b.} *    j

{^c-j* (i«•■)• N-{“^

m²-5

*3« +m

m*2

,»VT”

Wykonujęc proste przekształcenia, otrzymujemy

. . f.²-S):.²    . ¹ "I

*    (~3m²+»)tm² *3* J