img069

V CAŁKOWANIE WYBRANYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

Ten punkt poświęcamy przede wszystkim omówieniu metod całkowania funkcji trygonometrycznych postaci ,^(sinx, cosx), gdzie .9Ł{u, v) jest funkcją wymierną zmiennych rzeczywistych u i v o współczynnikach rzeczywistych (zobacz definicję 4.2). Funkcje typu &(sinx, cos x) tworzą bardzo obszerną klasę, do której nie należą jednak takie odwzorowania jak,

np. x —> ln|sin xj, -Jcosx, itp. Ponieważ funkcje tgx i ctgx są ilorazami funkcji sinx i cosx, więc funkcje typu ^*(sinx, cosx, tgx, ctgx) można zawsze zapisać w postaci dl(sm.x, cosx). Co więcej, funkcje typu dl * (sin mx, cos nx), gdzie m,ne N, również można zapisać w postaci ^(sinx, cosx), dzięki odpowiednim wzorom trygonometrycznym.

Przed podaniem bardzo ogólnych metod obliczania całek postaci

(5.1)    J ^(sin x, cos x)dx

pokażemy elementarne i bardzo skuteczne sposoby liczenia całek ze specjalnych funkcji trygonometrycznych.

Całkowanie niektórych iloczynów funkcji sinus i kosinus

Ze szkoły średniej wiadomo, że

(5.2)

sin mx cos nx = i [sin(m+n)x+sin(/w - n)x], cos mx cos nx-~ [cos(/n + n)x+cos(/n - n)x], sin nresin nx = - i [cos(m+n)x - cos(/w - n)x],

dla dowolnych m,n,xe R. Jeśli więc m±n\m±-n

cos(m+n)x ^ cos (w -n)x

+ C.

J sinmxcosnxdx = —sin(/n + n)xdx+j sin(//j - n)xdx j = —

Gdy zaś m = n i n * 0

fsinnxcosnx(ic = — f sin2/wdx =—— cos2nx+ C. J    2 J    4n

Podobnie stwierdzamy, że

s

cos mx cos nxdx =

sin(m + n)x ₊ sin(/n - n)x

m+n    m-n

—sin2nx+C, 4n

+ C,

gdy m*n i m*-n gdy m — n i n * 0

69