IMG06

330 Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki

W przypadku data rozciągłego, aby wyznaczyć jego środek masy. należy rozłożyć ciało na nieskończenie wiele mas dm. których położenia względem punktu odniesienia określa wektor r =[ x,y,z\. Wówczas we wzorach (42.1) sumy przyjmują postać całek po wszystkich elementach dm, czyli po całej objętości ciała sztywnego:

r^-fzdm	(42.2)
X'^m±.fxdm	(42.2a)
y, * —- f v dm ^y' M ^J -	(42.2b)
z.-jjfzdm	(42.2C)

W szczególnym przypadku, gdy punkt odniesienia pokrywa się ze środkiem masy, wówczas wektor f_c = [ 0,0,0] i spełnione są zależności:

Jx dm “0; f y dm = 0; J z dm = 0    (42.3)

Wielkość fizyczna zwana momentem bezwładności określa bezwładność ciała sztywnego podczas wykonywania ruchu obrotowego. Dokładnie została ona opisana w części teoretycznej w ćwiczeniu 36. Wartość momentu bezwładności zależy od osi, wokół której odbywa się obrót ciała. Jeżeli znany jest moment bezwładności ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to za pomocą twierdzenia Steknera można wyznaczyć moment bezwładności tego ciała względem innej osi równoległej do niej.

Ry». 42.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Stcincra

Dla ciała przedstawionego na powyższym rysunku znany moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez jego środek masy (oś Z) wyraża się całką:

J_z - / (jrf + yf) dm    (42.4)

Wyrażenie x² + y,² określa kwadrat odległości elementu dm od osi Z.

Moment bezwładności względem osi obrotu Z* równoległej do osi Z i oddalonej od niej o d = \[xj~+~yf. gdzie współrzędne x₍ i y_c określają położenie środka

masy rozpatrywanego ciała w nowym układzie współrzędnych związanym z osią Z* wyrazić można następująco:

■fi-J&fi+JŚ)**"    (“2.5)

Wyrażenie xj + yj określa odległość elementu dm od nowej osi Z*, pomiędzy współrzędnymi zachodzą następujące związki:

x_i=x_e+x_y yi-y_r+y_t    (42.6)

Podstawiając wzory (42.6) do (42.5), otrzymuje się wyrażenie:

^J\ ⁼ / (fc+O ⁺(y_t + yj )dm = f (x² + 2x_cx_l + x² + y) +2 y_ry, +yf)dm

(42.7)

dale) grupując wyrażenia

J\ = / (*? + y? )d»i + (x‘ + y*)J dm + 2x_c J x,dm + 2y_r f y,dm (42.8)

W wyrażeniu (42.8) pierwsza całka (zgodnie z (42.4)) odpowiada momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy /_r Z kolei ponieważ spełnione są zależności^ + yl = d² i Jdm = M, druga całka w wyrażeniu (42.8) przyjmuje postać:

(?c + yć)J dm = d* M    (42.9)

Natomiast dwie ostatnie całki w wyrażeniu (42.8) są równe zeru. gdyż spełniony jest warunek (42.3), tzn. położenie środka masy w układzie odniesienia związanym z osią Z określa wektor r_c = [ 0,0,0]. Reasumując, równanie (42.7) przyjmuje ostatecznie postać:

d.W.+A/d²    (42.10)

Zależność (42.10) wyraża twierdzenie Steinera opisujące związek między momentami bezwładności I, i J\ ■