Untitled 16

34]

§ 3. Ciąg monotoniczny

59

Dowód. Ograniczmy się do przypadku rosnącego (być może w sensie szerszym) ciągu {*„} (przypadek ciągu malejącego rozważamy analogicznie).

Przypuśćmy z początku, że ciąg ten jest ograniczony z góry. Wówczas według twierdzenia z ustępu 11 zbiór wartości tego ciągu ma skończony kres górny:

a = sup {x_n} ;

pokażemy, że właśnie ta liczba a jest granicą ciągu {*,,}.

Przypomnijmy więc własności charakterystyczne kresu górnego [11]. Po pierwsze dla wszystkich wskaźników n jest

x„<a.

Po drugie, dla dowolnej liczby s>0 istnieje taki wskaźnik N, że

•£n >a — s.

Ponieważ ze względu na monotonic.zność ciągu (tu po raz pierwszy korzystamy z tego założenia) przy n>N jest x_n>x_N, tj. tym bardziej x„>a—s, więc dla tych wskaźników n spełniona jest nierówność

0^a — x_n<e,    czyli |x„ — a\<£,

skąd już wynika, że lim x_n=a.

Niech teraz ciąg {x„} nie będzie ograniczony z góry. Wówczas, dla dowolnie dużej liczby E>0 istnieje choćby jeden wskaźnik N, przy którym jest x_N>E, tj. istnieje choć jeden wyraz ciągu większy niż E. Ze względu na monotoniczność ciągu I*,,} przy n>N mamy tym bardziej

x_n>E,

co oznacza, że limx„=+oo.

Łatwo zauważyć, że wszystkie omawiane tezy pozostają w mocy, jeżeli ciąg staje się monotoniczny począwszy od pewnego miejsca (bo — bez wpływu na granicę ciągu — — można pominąć dowolną skończoną ilość wyrazów ciągu).

Przejdźmy do przykładów zastosowania twierdzenia.

35. Przykłady. 1) Rozważmy ciąg (przy c>0)

c"

gdzie «! = 1 -2-3■...■n. (Ciąg ten przy c>l przedstawia symbol nieoznaczony postaci oo/oo). •Ponieważ

c

X_{n +} i=X_n——,

n +1

więc skoro tylko rt>c — 1, to ciąg ten jest malejący; jednocześnie jest on ograniczony z dołu, np. przez 0. Wynika stąd na podstawie twierdzenia, że ciąg {*„} ma granicę skończoną, którą oznaczamy przez a.