Wyklad (12)

12

ln|j>| = -31n|x| + ln|C|, C* O

(3)

Es wird nur versucht ob die inhomogene Dgl (1) durch eine Funktion erfiillt werden kann, die sich von (3) dadurch unterscheidet, dass in ihr die Konstantę C durch eine Funktion u(x) ersetzt wird. Es wird also der Ansatz

y =

(4)

gemacht und (4) in (1) eingesetzt. Daraus folgt

,J_3C^%

V x³ x⁴ j

3 u

X

u’ 3u 3u

——r⁺T ⁼ *

X X X

~ = x <=> «(x) = u(x) - J x²dx

«W=^-+C, (5) 4

Es ist fur diese Methode kennzeichnend, dass sich Glieder, mit der gesuchten Funktion wegheben und u(x) sich ais gegebene Funktion erweist. In dieser Situation besteht die Aufgabe darin, das Integral der gegebenen Funktion zu finden und es in den Ansatz einzusetzen. Der letzte Schritt ergibt fur unser Beispiel

x C,

y = -+-i (6)

Aufgabe 11. Finde die allgemeinen Lósungen folgender Differenzialgleichungen.

a).y'+y cosx = cos x ;    b).y'+y = x;    c) y'+y -x²;

d).y'+2y = sin x;

e).y'+3y = cos x;    f)y'+3y = 5;

g)y

1

l + x l + x‘

h).xy'+2y = e^}

ź).xy'+2y = sin x;

j).xy'+3y = cosx; m).xy'+y = xlnx ;

k).xy'+3y -e^x \ l).xy'Y2y = ln x; ń). xy'+y = arctan x; ó).xy'+y - arcsin x

•    X

Bemerkung. Das Ergebnis (6) lasst sich auffassen ais Summę zweier Lósungen. Die eine y ₍x = — ist die

⁵    4

speziele Lósung der inhomogenen Dgl (rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego). Der Summand