02 01 11
Q kolokwium2

20. 12. 2000 r.

imię i nazwisko	1	2	3	4	5	suma
	•			*		L_

Uwaga! Rozwiązać dowolne. Ą. spośród podanych zadań.

1. Funkcja, fi* : P(X) —► [0, +oo) jest miarą zewnętrzną w zbiorze X. Czy funkcja m : P{X) —* R, zadana wzorem m(A) = iog₂ (1 + fi*(A))., jest miarą zewnętrzną we wspomnianym zbiorze X.

x -f y — n

2. Sprawdzić, czy funkcja /, zadana wzorem /(ar,

¹ \x + y-n\

mierzalna, w sensie dwuwymiarowej miary Lebesqne⁵a w swojej dziedzinie naturalnej.

r i

+ 2 ,jest

►. Wyznaczyć (o ile istnieje) lim / f_ndli_y gdzie f_n(x)

«-H3C J

10,1)

3ⁿⁱ + 4^nx — x²

(k — 1,2...). Wyka-

10*    ( 11

4. Funkcja / zadana jest wzorem /(z) = -77- dla x 6 (    , , -r—7

fc! ^    \5* 5*^-1

zać, że / jest całkowalna w przedziale [0, -ko©) sensie jednowymiarowej miary Lebe-sque’a. Obliczyć J f dli.

lo, U

5. W trójkąt równoboczny o boku a ~ 1 wpisano koło. Następnie 3 koła. Każde z nich jest styezne zewnętrznie do koła wpisanego wcześniej i do dwóch boków. W kolejnych krokach wpisuje się kolejno 3 koła. Są one styczne do bezpośrednio wcześniej wyznaczonych i do dwóch boków zadanego trójkąta. Czy zbiór, który powstanie przez przez usunięcie z trójkąta zbudowanych w przeliczalnej liczbie kroków kół jest I2 - mierzalny. Jeśli tak- podać jego miarę.