068 2

134

VII. Funkcja określona równaniami parametrycznymi

gdzie t oznacza czas, g przyśpieszenie ziemskie, a v₀ prędkość początkową. Znaleźć rów. nanie toru, długość rzutu oraz prędkość v i tangens kąta nachylenia wektora prędko^ względem osi Ox w chwili t.

7.55.    Napisać równanie stycznej do cykloidy

x = a(t—sini), y=a(l—cosr)

w punkcie t=\it.

7.56.    Napisać równanie stycznej w punkcie (2, 2) do krzywej

x-^1+t    y-—+-

7.57.    Krzywa określona jest równaniami parametrycznymi x=t², y=2t. Znaleźć kąt nachylenia stycznej do krzywej przy 1=1.

7.58.    Krzywa określona jest równaniami parametrycznymi jc=cos t, y=f+sinr. Znaleźć kąt nachylenia stycznej do krzywej przy t=$n i t=$n.

Rozdział VIII

ALGEBRA

§ 8.1. LICZBY ZESPOLONE

Symbol i oznacza tzw. jednostkę urojoną, spełniającą warunek (8.1.1)    i’ = -l.

Wprowadzamy liczby zespolone z mające postać sumy

z = x + iy,

gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi. Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznacza się symbolem Re z, a część urojoną — symbolem Im z, zatem Rez = x, Imz=y.

Reguły dodawania odejmowania i mnożenia na tych liczbach są takie, jak dla liczb rzeczywistych, przy czym w iloczynie zamiast i² podstawia się -1.

0\    a

Rys. 8.1

Przykład. Przy mnożeniu liczb zespolonych z_l = a+bi oraz z₂ = c+di iloczyn ^zi z₂=(a+bi)(c+di),

otrzymujemy mnożąc a+bi przez c+di jak wielomiany: z_lz₂ = ac+adi + bci+bdi².

Następnie zastępujemy w iloczynie i² przez - 1 i osta-^lecznie otrzymujemy

z₁z₂=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Liczbę zespoloną różniącą się od liczby z=a+bi tylko znakiem współczynnika przy i ^^vamy liczbą sprzężoną z liczbą z i oznaczamy przez z:

ź=a — bi.

Liczbę zespoloną a + bi sprowadzamy do postaci trygonometrycznej

(8.1.2)

a+bi = r(cos ę> + isin <p),

8dzi_e ..

■czba dodatnia r jest modułem, a tp — argumentem danej liczby zespolonej.