CCF20090319037

46 Różniczkowanie funkcji

2.9. Pochodne funkcji określonej równaniami parametrycznymi

Jeśli x i y są funkcjami ciągłymi zmiennej t, gdzie

* = /(*)> y = a{t),    (2.13)

to mówimy, że funkcje te określają krzywą na płaszczyźnie. Zmienną t nazywamy parametrem, a wzory (2.13) - równaniami parametrycznymi krzywej.

dy    dy    dx

Pochodną — wyznaczamy    dzieląc    —    przez    —, tzn.

dx    dt    dt

dy dy dx . dx , -r = -r--r,    jeśli t ^ 0

dx dt dt    dt

(2.14)

2.10. Pochoc

Niech punkt materiał tego punktu (wychod czyźnie Oxy

df

Pochodną — nazywj dt

Przyspieszenie a je=:

Przykład

dy

Obliczyć pochodną -f- funkcji określonej równaniami parametrycznymi dx

x = sin t — t cos t, y — cos t + t sin t.

Rozwiązanie. Różniczkujemy funkcje x i y względem t, otrzymując

dx

dt

dy_

dt

cos t + t sin t — cos t = t sin t, = — sin t + t cos t + sin t = t cos t.

dy    dx

Po podzieleniu — przez — mamy zatem dt    dt

dy    tcos t

dx    t sini

= ctg t.

Wartość prędkości (s nego nam już wzoru

Podstawowe wdasnoś obliczaniu pochodne;

Zadania

dy

Obliczyć pochodną funkcji określonych równaniami parametrycznymi: dx

1.    x = acost, y = 6sini (elipsa),

2.    x = 4t, y = 8(1 — t) (prosta),

3.    x = a{t — sint), y = a(l — cosf) (cykloida),

4.    x = acos³t, y = asin³f (asteroida),

b    a

5. x =

b + t'

y

a + t

Należy przy tym p-u ność wektorów.