Matematyka 2 5

84 II, Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Równanie x*'+ y’+ z³ - I określa powierzchnię kułisią (sferę) o środku w punkcie (0,0.0) i promieniu r * 1. Z równania lego otrzymujemy z ■    x² - y* , gdy

z2 0 lub z-~/T- x³ -y^J , gdy z£0, przy czym pierwsze z tych równań określa "górną połowę", a drugie równanie - "dolną połowę" powierzchni kulistej.

Rys 3.5

b) Funkcja

i

z = x' + y

jest określona dla (x,y) €R^:, a jej wykresem jest powierzchnia nazywana paraholoidą obrotową (rys 3.5 b)).

Powierzchnię u? można otrzymać przez obrót dokoła osi Oz paraboli o równaniu z - x'‘ (leżącej w płaszczyźnie 0xz). Przekrój lej powierzchni dowolną płaszczyzną 2=a, a > 0. jest okręgiem, a przekroje płaszczyznami x - b lub y ■ b są parabolami Ogólniej: równanie z-ax²+Py³, a>0, (i>0 określa paraboloidę eliptyczną, której przekroje dowolną płaszczyzną z * a, a > 0, są elipsami (por. rozdz. I, 5).

Rys 3.6

Na rysunku 3.6. przedstawione są wykresy funkcji /.= l + x² +y^: dla x² +y² 2Ś 1 oraz z® 2- x² -y² dla x‘ + y^: <, 2 .

c) Funkcja

z=+y²

ICM określona dla (x,y)eR\ Wykresem tej funkcji (rys 3.7a)) jest "górna połowa" stożka z² « x² + y^: (dla z £ 0).

Na rysunku 3.7 b) przedstawiony jest wykres funkcji z = 2-Vxⁱ+7' dla x²+y²Sl.

Stożek z² = x² +y² można otrzymać przez obrót dokoła osi Oz prostej z = x zawartej w płaszczyźnie Oxz. Przekrój tej powierzchni dowolną płaszczyzną z - a, arO |i;st okręgiem. Ogólniej: równanie z² - ctx² + Py\ u > 0. P > 0, określa stożek, którego przekroje dowolną płaszczyzną. z«=a. a * 0 są elipsami (por. rozdz. I, 5).

d) Wykresem funkcji z = z(x,y) określonej wzorem

z*l-x*\ (x,y) eR²,

jest powierzchnia walcowa, której kierownicą jest parabola z = 1 -x² zawarta w płaszczyźnie 0xz, a tworzące są równoległe do osi Oy (rys 3.8 a)).

Na rysunku 3.8 b) przedstawiony jest wykres funkcji z = z(x,y) określonej wzorem

z = 2-Vi-y^;

dla (x,y) eD= {(x,y) €R²: -l<y£l}. W'ykresem tej funkcji jest