Matematyka 2 9

98 II. Ruthunek różniczkowy.funkcji wielu zmiennych

5. POCHODNE CZĄSTKOWE. RÓŻNICZKA FUNKCJI

POCHODNE CZĄSTKOWE. Załóżmy, że funkcja f • D-> R DcR', jest określona na pewnym otoczeniu U(p₀) punk Po =(x₀.y_ł>)- Niech <p,(x) = f(x,y₀) oraz cp,(y) = f(x₀,y).

Jeżeli istnieje pochodna funkcji <j>, w punkcie x₀, to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie Po=(x₀.y₀) • oznaczamy

^f*(*o.yo)    lub ^-<x₀,y₀)

Jeżeli istnieje pochodna funkcji tp_; w punkcie y₀. to nazywam ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej y w punkcie

Po = (XorVo) • oznaczamy

r;(Xo.y₀) lub j£(x_0ly₀).

Stąd i z definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej wynika, że

£(*.,*> = •{<*.>- linnSiiŁi,_|m f(Xf,+Ax,_y<i)-f(x,.y_t) \»-*o    Ax    a%-«4    Ax

i analogicznie

_f,<    _{)= |jm} f(x_r,.y„ ₊ Ay)-f(x₀.y₀)

^y    Ay-łO    Ay

lub (przy innych oznaczeniach):

r;(x₀,y₀)= lim ^f(X,yo)-^f(Xo’-^Vo).

X~X₀

f;(x₀.yo)= lim

f(x_ftty)-f(x_n,y₀)

y-y₀

Pochodne cząstkowe funkcji w punkcie są, zgodnie z definicją, pewnymi liczbami. Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe w każdym punkcie p = (x,y) e A cD, to funkcje

f,'- (x,y)-> f*(x,y), (x,y)e A oraz f^: (x,y)-» fj(x,y). (x,y)eA

nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f na zbiorze A odpowiednio względem zmiennej x lub zmiennej y i oznaczamy odpowiednio

f' lub 4r oraz *v lub 4r-

* dx    dy

Analogicznie definiujemy pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych, gdy n>2. Załóżmy zatem, że funkcja f: D-»R, Dc=R", jest

określona na pewnym otoczeniu U(p₀) punktu p₀ = (x5\x$.....x‘_n‘).

Niech it>i. k = 1.2.....n. oznacza funkcję jednej zmiennej x_k określoną

wzorem

<M^xk) = ^f(^xi...........x").

Jeżeli ismieje pochodna funkcji <p_k w punkcie xj, to nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x_k w punkcie

p„ = (x'₁’,X2.....x°_n) i oznaczamy

Ę,(x?.....*!> lub ^-(xf.....*!>,

albo te? krócej:

f;<Po) lub ^-(p„).

Zatem

p _(x0 x° )= lim    i»Xi_t.x_fc->iv-x„)- t( x,    )

Jeżeli funkcja f ma pochodną cząstkową względem zmiennej x_k w każdym punkcie p=(x_|ł...,x_n) pewnego zbioru AcD, lo funkcję

f,'.: P->f;,(P). P^A,

nazy wamy pochodną cząstkową funkcji t względem zmiennej x_k na zbiorze A.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. Niech będzie dana ftmkcja f dwóch zmiennych x i y określona na pewnym otoczeniu punktu P„ - (x₀,y₀). Załóżmy, że funkcja f ma pochodne cząstkowe w punkcie Pi,. Niech wykresem tej funkcji będzie pewna powierzchnia S Przetnijmy