Matematyka 2 9

88 II Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennyyli

-

k) z = 2 +V**-x^:,    I) z = 1 +-^/y-x’ 4-1 +*y/^-l“}''

ł) z = 2-^y-x^: +■ x + y³^x^: -y-x. m) z=x-^y-x^:- y^ - y + 3^2y -y^: i" + 3y\

O d p o h ied/i.

2.    ■) D-|(x.y)eR^: x<Iav<x|. b) D= ((x.y)*R^: -3< y<2x-x^J},

c)    D*{(x_ły)€R^I: (x - 2)^: ♦ y^: <4 a x>1),

d)    D = |(x.y)fcR^:: -3^y<5}. e) D = |(x.y) eR³: I < x < 2 a x^: -y^: <9).

0 D= |(x.y) cR*\ -x£y<x a x>Q| .

g> D-{(x,y)eR^; y<4-x³ a -1<> <3} =

= ((x,y)€R^J: -I<y<3 a -^4-> <x<^4-y). h) D= ((0.-1)}, i) D= |(x.y)cR²: -> <x£l-y a 0cy<|J. j) D - (<x,y) ę R³: x' -y* >l| , j

k)    D = ((x,y)eR^? x^: - 2x <y<4-x^:).

l)    D={(x,y)€R^:: (x*2)³ *y <4 a yi£x^:—4},

1} D= ((x,y)eR^J: x³ + y^: <9 a x* -(y-l)^: >1).

m| D-{<x.y)eR*: 0«x$l a \<y<2-x^:|.nl D=|(x.y)eK^:: -3<y<2),

o)    D—{(x,y)eR^a: -l<x<2).

p) D={(x.y) e R :y <cosx a y * I) - {(2kn,l) k*C}, r)D=|(x.y) eR^::x-0). Sporządzenie odpowiednich rysunków pozostawiamy Czytelnikowi

4 Wsk aj płaszczyzna przechodząca prze/punkty (2,0,0),(0.1.Ol.l0,0.4);

b> część płaszczyzny /.= 2, której raiłem na pl 0xy jest koło: x - y^: < I; c) i dl paraboloidy obrotowe e) paraboloida eliptyczna. 0 i g) stożki, h) powierzchnia walcowa, której kierownicą jest parabola z = 4 - x^? zawarta w 0xz. a tworzące są równolegle do osi ()y; i) powierzchnia walcowa, której k równicą jest parabola z - y² - y zawarta w pl. 0y/. a tworzące są równoległe osi 0x.    j) powierzchnia walcowa, której kierownicą jest półoknfl

x' +• z‘ = 4, z > 0 zawarty w pl Oxz, a tworzące są równoległe do osi Oy; k) powierzchnia z punktu j) przesunięta o wektor (0.0.2J; I) funkcja jest ol na na zbiorze jcdnoclcmcntowym D- {(0.-1)}. przy czyni z(0,-l|=l. wyl sem jest zbiór jednoeiementowy W -{(0.-I.I)} . I) d/jeil/iną funkcji jest zbi

fł - {(x.y) e R*. y = x^: - x}. przy czym w każdym punkcie dziedziny /(x,y) =■**:

m) D- {(-l.l), (1,1)}. przy czym z(-l.l) =2. z<l.l) = 4; wykres jest zbiorem elementowym W = |i 1,1.2),(1,1,4))

4. GRANICA 1 CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

GRANICA FUNKCJI. Załóżmy, że D jest podzbiorem pewnej przestrzeni metrycznej X, a p₀ jest punktem skupienia tego zbioru (punkt p₀ może do zbioru należeć lub nie). Łatwo wykazać, że istnieje wówczas ciąg (p„) spełniający warunki:

(4.1)    P_neD i p_B*p₀ dla neN oraz. p_n-*p₀.

Istotnie, zgodnie z definicją punktu skupienia zbioru, w każdym otoczeniu punktu p„ znajdują się elementy zbioru D, różne od p₀. Zatem

dla każdego neN istnieje punkt p„ eD, p„ * p₀ taki. że p(p_n.p₀)<^

Sąd wynika, że p(p_n,p₀) -> 0, a to oznacza, że p_n -> p₀.

Niech X i Y będą dowolnymi przestrzeniami metrycznymi. Załóżmy, że f: D -» Y, przy czym D c X. Załóżmy, że p„ jest punktem skupienia zbioru D oraz g € Y

Niżej podam> definicje Heinego i Cauehyego granicy g funkcji f w punkcie p„. Wykazuje się, że definicje te są równoważne.

DEFINICJA HEINEGO Mówimy, ze funkcja f ma w punkcie Po granicę g. gdy dla dowolnego ciągu (p_n) takiego, że P„ eD ł p_n*p₀ dla n eN i p_n ->p₀, ciąg (f(p_n)) ma granicę równą g, czyli

limf(p| = g ^ A((p_neD-|p„}, neN a p_n->p_rt)=>(f(p )->g))

<p.)

DEFINICJA CAUCHY’EGO. Mówimy, że funkcja f ma w Punkcie p_n granicę g, gdy dla dow^ro!nej liczby z> 0 istnieje laka liczba ^‘^>0, że dla punktów peD spełniających nierówność 0<p(p,p₀)<ó, ^Wartości funkcji spełniają nierówność ^(f(p).g) < e . czyli