Matematyka 2 7

106 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

FUNKCJE KLASY C“. Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej. dla funkcji wielu zmiennych przyjmujemy następując określenia:

Mówimy. że funkcja f jest klasy C° na pewnym obszarze, gdy jest funkcją ciągłą na tym obszarze.

Mów im>. żc funkcja f jesl klasy C" na pewnym obszarze, gdy funkcja ta ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu m na tym obszarze.

Mówimy, że funkcja jesl klasy C* na pewnym obszarze, gdy funkcja ta ma ciągle pochodne cząstkowe dowolnego rzędu na rym obszarze.

Wykazuje się, że C° z>C' dC^:d... . Stad wynika, ze funkcja klasy C ^m na pewnym obszarze jest na tym obszarze ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe do m-tego rzędu włącznie.

Łatwo widać, że funkcja f(x.y) = xV -2y⁴ +2 jest klasy C‘ na

płaszczyźnie R', natomiast funkcja g(x.v) = y*^/y-x jest klasy C* na

płaszczyźnie R^:, ale nic jest funkcją klas> C^: na R*. gdyż pochodna cząstkowa trzeciego rzędu g"5 (0.0) nic istnieje.

Pochodne cząstkowe funkcji złożonej weźmy pod uwagę funkcję złożoną F( p) = f(«p( p)), gdzie

cp: D-»A, DcR^m, AcR^r oraz f:A-»R.

Funkcja F jest funkcją m zmiennych rzeczywistych i przyjmuje wartości rzeczywiste.

Jeżeli

(5.1)    f(u)=f(u,.....u_n), u = (u,.....u„)eA,

oraz

(5.2)    u = q>(p) = (u,(p).....u_n(p)). p = (x_h...,x_m)€D,

to funkcję złożona F(p >= f(<p(p)) można zapisać w postaci

F(p)= f(u,(p),....u_n(p)). peD. lub

))• (X|..._MX|n )cO .

(5.3)    F(x,..._Mx_n, )=f(u,(x,.....x_m ).....u_n(x,

Niżej podajemy twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej (5.3).

TWIERDZENIE 5.2. Jeżeli funkcja f dana wzorem (5.1) jest klasy C na obszarze A oraz funkcje u_k(X|.....x_m), k = l,....n. wystę

pujące w (5.2) mają pochodne cząstkowe na obszarze D, to funkcja złożona 1 dana wzorem (5.3) ma pochodne cząstkowe na obszarze D. przyczyni

(5.4)

<?F    y-¹ df ĆHlk

W szczególności, gdy

i = l.....m.

z=f(u,v), u=u(x,y), v = v(x,y).

funkcja złożona F(x,y)= f(u(x,y), v(x,y)) jest funkcją dwóch zmiennych x i y. Wzory (5.4) przyjmują wtedy postać

ĆF _    tfuź?F    df źHi _| gf d\

tfx du (h dv cx' dy tfu dy a\ dy

Rozważmy jeszcze dwu szczególne przypadki:

1)    Jeżeli

z = f(u,v)_? u = u(x), v = v(x),

to funkcja złożona F(x) = f(u(x),v(x)) jest funkcją zmiennej x. Wówczas z (5.4) otrzymujemy

-    df dv

dx f?u dx dv dx

(symbole pochodnych cząstkowych w przypadku jednej zmiennej zostały zastąpione symbolami pochodnych zwyczajnych).

2)    Jeżeli

z=f(x,y), y = y(x),

(o funkcja złożona F( x)= f(x,y(x)) jest funkcją tylko zmiennej x Uwzględniając stosowane w tym przypadku oznaczenia, ze wzoru (5.6) otrzymujemy

dF df df dv