Matematyka 2 7

66 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Z warunków (1), (2) i (3) wynika, ze wartości funkcji p są liczbami nieujemnymi Istotnie, dla dowolnych p,.p_; eX mamy

U=/>(P_ldV^/?(Pid^+/>(p₂.Pi) = 2/?(p,.p_;),

skąd wynika, że

p{ p,,p₂)>0.

Przypomnijmy jeszcze, żc: a) w dowolnym mepustym zbiorze można określić metryką, co oznacza, żc każdy niepusty zbiór można "zmetryzować". b) w ustalonym niepustym zbiorze można określić metryką na różne sposoby (por. tom I. rozdz. 1.4).

W przypadku gdy metryka w X jest ustalona i nic może być wątpliwości 7 jaką metryką zbiór X jest rozważany, albo też wiadomo, żc w zbiorze X jest określona metryka i me jest ważne jaka to jest metryka, pisać będziemy krócej: przestrzeń metryczna X.

Przestrzeń Euklidesowa r^b. zbiór wszystkich

n-wyrazowych ciągów liczb rzeczywistych, tzn zbiór X = Rx-xR = R"

n

z metryką p określoną wzorem

d-i)    /’(p..Pi)=^(v-yi)'.

gdzie p, =(x,,x₂.....x_n), p_: =(y,.y_2ł...,y„) są dowolnymi elementami

(punktami) zbioru X, nazywamy n-wymiarową przestrzenią euklide-sową i oznaczamy krótko symbolem R". Metryką (1.1) nazywamy metryką euklidesową lub naturalną

W szczególności; przestrzeń R¹ = R oznacza zbiór liczb rzeczywistych x, w którym odległość dowolnych dw^róch elementów' p, = x, i p₂=x₂ określa wzór:

/*(Pi«P: ) = /^?(X|,Xj)=^(x₁-x₂ )^: = |x, — x₂1;

Podobnie R^: oznacza zbiór par liczb rzeczywistych (x,y). w którym odległość dowolnych dwóch elementów p, =(x,.y,) i p₂=(x₂,y₂) o-kreśla wzór:

/»(P|.P:) = V<^x< " ^x2)² + (y. - y:)² •

Przestrzeń R^J oznacza zbiór uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych (x,y,z), w którym odległość dowolnych dwóch elementów

p =(x_|ły,.^zi) ■ P; = i ^x2 • - ^zr) określona jest wzorem:

/>(p,.pO = ^(x, -x,)^: My, -y₂)^: + (z, -z,)^:.

Obrazem geometrycznym przestrzeni R jest oś liczbowa, przestrzeni R* - płaszczyzna z kanezjańskim układem współrzędnych Oxy, a R³ - przestrzeń z kartezjańskim układem współrzędnych Oxyz, przy czym odległość dowolnych dwóch punktów każdego z tych zbiorów mierzona jest długością odcinka łączącego te punkty. Dla przestrzeni R", gdy n > 3. nie ma już interpretacji geometrycznej.

KULA. ZBIORY OGRANICZONE. Niech (X,p) będzie dowolną przestrzenią metryczną. Uogólniając znana nam definicję kuli przyjmijmy następujące określenie.

W przestrzeni metrycznej (X,/?) kulą otwartą (krótko: kulą) o środku w punkcie aćX i promieniu r, r > 0. nazywamy zbiór R(a.r) = {p eX: p(p.a)<r|.

Kula K(a,r) w przestrzeni R¹ oznacza więc otwarty przedział ośrodku w punkcie a i długości 2r, w przestrzeni R’ - wnętrze koła o środku w punkcie a i promieniu r. a w R^J - wnętrze kuli o środku w punkcie a i promieniu r.

Zbiór A c X nazywamy ograniczonym, gdy istnieje pewna kula Kta.r)c X taka. ż.e AcK(a.r).

Zbiór nazywamy nieograniczonym, gdy nie jest on zbiorem

ograniczonym.

Rys l.l