Matematyka 2 3

82 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennyi h

y

2

O

x

Ql

o ,1

&) /

X

Rys 3.2

d) D - {(x,y)eR²: 2v-y^:>0 a y-lnx>0 a x>IJ} =

= !(x,v)gR^:- 0<y<2 a x>0 a v>lnx}.

(rys. 3.2 b)).

c) Dziedziną lej funkcji jest zbiór DeR’ punktów (x,y), dla których y + 2x-x^: > O i 4x-x^:-y > 0. czyli (rys. 3.3 a)) D={(x.y)eR^:: y>x^:-2x a y <4x-x^:) =

Rys 3.3

O D= {(x,y)eR^:: 2 + x-x^: >0 a 9-x^: -y^:>0{ =

= |(x,y)eR^:: — I <x< 2 a x^: + y^: <9} Obszar D pokazany jest na rysunku 3.3 b).

gl D = {(x.y)eR^:: 2x-x^:-y^:>0 a y + x>0} =

= {(x,y) gR²: (x-1)^: +y^: <1 a y>-

(r>'S. 3.4 a)).

y

y

X

o) \    bi [O    X

Rys 3.4

h) D = |(x.y) gR^:: 4y-x‘-y²>0 a x^:+y^:-2y>0}=

= |(x,y)eR*: x^:+(y-2)^:<4 a x^: +(y-1)^: > !|.

(rys 3.4 b))

i) D= {(x.y) eR^:: -x^: -y^: >0} - {(x,v) gR^:: x~ + y^: =0} -

j) D = {(x.v) gR': y-x>0 a x-y >0} = ||x,y)GR^:: y = x|.

Interpretację geometryczną zbiorów D w punktach i) , j) pozostawiamy Czytelnikowi.    ■

WYKRESY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Wykres funkcji dwóch zmiennych określonej wzorem z=f(x,y), (\.y) e D jest

to zbiór W c R ' określono następująco

W = {(x.y,z) g R⁴: (x.y) eD a z = f(x,y)}.

Wykresem funkcji dwóch zmiennych jest więc pewien podzbiór przestrzeni R'. W przypadku gdy funkcja jest określona na pewnym obszarze i jest ciągła na tym obszarze, wykresem jest pewna powierzchnia. W ogólności lak być nie musi (por. przykład 3.3. c) i 0 )•

PRZYKŁAD 3.3. a) Funkcja

jest określona na kole D=|(x,y)GR^:: x^: + y^:<l}, a jej wykresem jest "górna połowa" powierzchni kulistej ośrodku w Punkcie (0,0.0) i promieniu r= 1 (rys 3.5 a) ).