Matematyka 2 9

78 II. Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych

W konsekwencji, dla n > K = max{K,,K_: J, mamy

P(Pn.Po)*    ^_ *<>>’ +(yn "Yo f < J(^p*+(;j=>^J

Wykazaliśmy więc, że

A V A /j(p_n,p„)< t.

Z>0 K n>K

a to oznacza, że p_n -> p₀ •

Ogólniej:

TWIERDZENIE 2.4*. Załóżmy, że p_n = (x_ln,...,x_kn)€R^k, ti€N, i Po =(x,₀,...,x_klł)€R^k. k>2. Wówczas

lim Pb- Po » A (limx_in = x_i0).

n-»t*    i=l___k

Uwaga Z twierdzenia tego wynika, że ciąg (p_t)) jest zbieżny

wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów (x_in). i = 1_____k. jest zbieżny.

Tak więc. jeżeli przynajmniej jeden ż ciągów (x_in) jest rozbieżny, to ciąg (p„) jest rozbieżny.

PRZYKŁAD 2.2. Obliczamy granice:

a)    lim(l-3~".Vn-2)=(l.-l). gdyż lim(l-3'") = l i

n-*«ⁱ    n—»oo

lim (>/r7 — 2) =—1;

n->oc

^b)    limł-^T.-^f-.^-n + n' ) = (0,0,l), gdyż lim-^- = 0,

r-*tc n-t-1 gⁿ    o—►=*•• n +1

lim ¹ ^ — = lim(—+(—)ⁿ) = 0, lim ^3-n + n' = 1; n—»*> eⁿ n-»* o^{n e}    n-fce

c)    ciąg (3^-n,cosn.%'n) jest rozbieżny, gdyż ciąg (cosn) jest

rozbieżny.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1    Ohliczyć granicę ciągu (p_n), gdy:

.    ,3+n² -2n.    .. I l-3“^ł\

^{a) Pn_(}2 _{+ n}-”l + n '    ^{b Pn} 2"’ 2" +3“ ’

c)    p„=(2+3' ", ^5"*'-2", yl2-n~ + 1n* -3),

d)    p„=((i±l)²". (^r". (|)").

2    Podać przykład ciągu (p„) takiego, że

a)p_neR-.n€N i p_n->(-1,2), b) p_neR\neN i p_n->(0,l). c)p_aeR\neN i p_n-M0.1,0), d) p_neR³,neN i p_n-»(-U,2).

3    Podać przykład ciągu rozbieżnego (p„) takiego, że a)p_(lsK^:, neN, b) p„ eR\ n eN.

Odpowiedzi.

I a) (1-2), b) (0.-3). c)(2,5.-2).    d)(e^:.0.0).

3. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH W

pierwszym tomie tej książki (rozdz. I, 3) podane zostały podstawowe wiadomości o funkcjach. Przypomnijmy krótko: funkcja odwzorowująca zbiór X w zbiór Y (odwzorowanie zbioru X w zbiór Y) jest to przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Funkcję f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y zapisujemy

f: X-*Y.

Funkcje postaci f:L)->R, DcR. są funkcjami o wartościach rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej i były już. przedmiotem naszych wcześniejszych rozważań.