Matematyka 2 9

128 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

7. FUNKCJA UWIKŁANA.

FUNKCJA UWIKŁANA. Weźmy pod uwagę równania;

2x-y+l = 0,    2x-y^:+4 = 0,    x'+y² + l = 0.

Pierwsze z nich określa n3 zbiorze R dokładnie jedną funkcję y = y(x), dla kiórej 2x-y(x) +1 = 0 dla każdego xeR. Jest to funkcja postaci: v = 2x + l. Drugie równanie na przedziale I=<-2.-r-=c) określa dokładnie dwie funkcje ciągłe y = y(x) takie, że 2x-(y(x))² +4 = 0 dla x El. Inaczej powiemy: istnieją dokładnie dwie funkcje ciągłe na prze-dziulc 1 spełniające dane równanie Są to funkcje: y = v2x+4 i y = - >/ 2 x + 4. Trzecie z równań nie określa żadnej funkcji, gdyż dla każdego (x,y)eR^: mamy x²+y^: + l*0. Każdą z funkcji wyżej określonych nazywamy funkcją uwikłaną wyznaczoną przez odpowiednie równanie. Ostatnie równanie nie określa żadnej funkcji uwikłanej

Zauważmy jeszcze, ż.e drugie z rozważanych równań jest spełnione przez nieskończenie wiele funkcji nieciągłych. Na przykład każda funkcja postaci:

**>=•[ S'    ^xe<-²’^a);    I

[ —\/2x + 4,    xe<a,-H3C),

gdzie a jest dowolną liczbą z przedziału (-2,+oo), spełnia to równanie. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozważania tylko funkcji ciągłych wyznaczonych przez odpowiednie równania.

Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych określoną na pewnym obszarze. Każdą funkcję y = y(x) ciągłą na pewnym przedziale ł taką. że

A F(x,y(x))=0

Kd

nazywamy funkcją uwikłaną określoną równaniem (7.1)    F(x,y) = 0.

Na podstawie podanych wyżej przykładów stwierdzamy, że równanie F(.\,y) = 0 może określać na pewnym przedziale jedną lub więcej funkcji uwikłanych, albo tez może nie określać żadnej funkcji uwikłanej.

Równanie (7.1) nazywane jest też postacią uwikłaną funkcji y = y(x).

Załóżmy teraz, że F(x₀.y₀) = 0, czyli punkt (x„,y₀) spełnia równanie (7.1). Postawmy pytanie: kiedy równanie F(x,y) = 0 wyznacza dokładnie jedną funkcję uwikłaną y = y( x) taką. ze y(x₀) = y₀, czyli taką funkcję uwikłaną, której wykres przechodzi przez punkt (x₀,y₀) Na pytanie to odpowiada następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 7.1 (o istnieniu funkcji uwikłanej) Jeżeli F jest funkcją klasy C' na pewnym otoczeniu punktu (x₀,y₀ ) oraz

F(x₀,y„) = 0 i F;(x₀,y₀)*(J,

to na pewnym otoczeniu punktu x₀ istnieje dokładnie jedna funkcja uw ikłana >’ = y(x) określona równaniem F(x,y) = 0 spełniająca warunek y( x₀) = y₀, przy czym funkcja ta ma ciągłą pochodną określoną wzorem

02)

y’(x)=-

F;(x,y(x)) Fy (x, y< x )j

Dowód tego twierdzenia pomijamy. Zauważmy jedynie, że wzór na pochodną funkcji uwikłanej otrzymujemy łatwo różniczkując równość F( x.y(x)) = 0. Mamy wówczas

(7.3)    ą+F;y’ = 0,

a stąd wynika natychmiast wzór (7.2).

PRZYKŁAD "1. Weźmy pod uwagę równanie

(1)    x²y²—2e**^y + x=0.

Funkcja F(x,y) = x^:y^: -2e^Xł> + x jest funkcją ciągłą wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi na całej płaszczyźnie. Ponadto F(l,-1) = 0 oraz ^'(1,-1) =-4 * 0. Zgodnie z twierdzeniem 7.1 na pewnym otoczeniu punktu x₀ = 1 istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana y = y(x) określona równaniem (I), dla której y( I) = — I Z twierdzenia 7.1 wynika również, że

2xy~ - 2e^x*^y +1 2x²y-2e‘^+y

y'(x) = -