Matematyka 2 3

102 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zntiennyrh

xy

b) f(x,y)=

x² +y²

dla(x,y)*(0,0), dla (x,y)=(0.0).

a) Ponieważ <p,(x)= f(x.Q) = x dla każdego xeR. więc ⁽P[(x) = l, ‘Pj(0)=l, a w konsekwencji

Natomiast funkcja

f;(o,o)=i.

-I

<P2(y)=^f(°.y)=| ₀'

dla y * 0. dla y = 0

nie jest ciągła w punkcie y₀ = 0, a więc nie ma pochodnej w tym punkcie, co oznacza, że w punkcie p₀ = (0,0) nie istnieje pochodna cząstkowa f’.

b) Ponieważ

<Pi(x)= f(x,0) = 0, x eR oraz (p₂(y) = f(0,y) = 0, y <=R,

więc

(p;(x)=o, łp;<0)=o, f'(0.o) = o

oraz

<P:(y> = 0. <p'_:(0) = 0. £(0,0) = 0.

Warto jeszcze zauważyć, że funkcja ta, choć ma obie pochodne cząstkowe w punkcie p₀ = (0,0), nic jest ciągła w tym punkcie (gdyż nic ma granicy, co pokazaliśmy w przykładzie 4.3.).    ■

Uwaga / powyższego przykładu wynika, Ze dla funkcji wiciu zmiennych istnienie pochodnych cząstkowych nie gwarantuje ciągłości funkcji. Przypomnijmy, ze dla funkcji jednej zmiennej z istnienia pochodnej w pewnym punkcie wynika ciągłość lunkcji w tym punkcie. Z istnienia pochodnych cząstkowych wynika jedynie ciągłość funkcji zc względu na każdą zmienną oddzielnie. Dowodzi się jednak, zc ftinkcja, któro ma c i ą g I e pochodne cząstkowe na pewnym obszarze, jest na tym obszarze funkc^:* ciągłą

PRZYKŁAD 5.3. Obliczymy pochodne cząstkowe funkcji: a) z(x,y)= x²y —y⁵ + 2x,    b) w(x,y) = (x-2y)³-x^J,

c) u(x.z)= ln(x^: + z⁴ + 1),    d) t(y,z) = y>/2 + z^: - z,

c) p(x,y,7.)«xc"²⁵' +zV^:\ f) r(x,y,z) = arctg^--arctg-.

* X’*    24

Obliczamy:

a) z; =2xy + 2.    zJ=x^:-5y^J;

b)    w; =3(x-2y)^: +3x^:,    = -6(x-2y)²;

d) i; = V2+z^J. 1;=-^=-!:

PRZYKŁAD 5.4. Obliczymy kąt. jaki tworzy z dodatnim kierunkiem osi 0x styczna do linii

2z = 4-x^:-y^:, y = l

w punkcie P„ =(1.1,1)

z

y

Povs icrzchnia o równaniu 2z = 4 - x^: - y* jest paraboloidą obrotową (rys 5.2.), a opisaną linię otrzymujemy przecinając tę powierzchnię płaszczyzną y = I. Tangens szukanego kąta a jest równy wartości pochodnej z'_t w punkcie (1.1), tgu = z',(U). Obliczamy: <(x,y)»-x ⁷-UU)=-l. Tak więc

tga = -l, ci = 3n/4.