Matematyka 2 1

70 II. Rachunek róinicikawy funkcji wielu zmienttych

Zbiór AcX nazywamy domkniętym w przestrzeni X. gdy zawiera on wszystkie swoje punkty skupienia.

Największy zbiór otwarty zawarty w A nazywamy wnętrzem zbioru A i oznaczamy symbolem Inl A.

Najmniejszy zbiór domknięty zawierający zhiór A nazywamy domknięciem zbioru A i oznaczamy symbolem A

Z określeń tych łatwo wynika. Ze Im A = A jedynie wtedy, gdy A jest zbiorem otwartym oraz A = A jedynie wtedy, gdy A jest zbiorem domkniętym.

PRZY KI. AD 1.2. Zbiory

A = {(x,y)eR^:: x^:+y^:<l|,    B=((x,y)eR^:: y>x-l}

są zbiorami otwartymi na płaszczyźnie, natomiast zbior\

C={(x,y)eR‘: 1 £x^: + y^: <4}, D= |(x.y)eR^: : x-l<y<l} są zbiorami domknięty mi na płaszczyźnie (rys 1.2 i 1.3).

Rys 1.3

Zbiorem domkniętym jest również każdy zbiór skończony (złożony ze skończonej liczby elementów), gdyż taki zbiór nie ma punktów skupienia.

Natomiast zbiór

E = {(x.y) e R^:: l<x^: *-y^:<4}

nie jest zbiorem otwartym (gdyż punkty leżące na okręgu x^: +y² = 1 nie są punktami wewnętrznymi lego zbioru) i nie jest zbiorem domkniętym (gdyż punkty leżące na okręgu x‘ + y^: = 4 są punktami skupienia tego zbioru, ale do niego nie należą).    ■

PRZYKŁAD 1.3.

a) Niech A = |X€R: I < x < 2). Wówczas

Int A = |x eR: I < x <2|. A = |x e R: I ^ x ś 2}.

b)    Niech A = {(x.y) eR"; x^: +y' <1}. Wówczas

Int A = A.    A={(x.y)eR²: x^:+y^:<l}.

c)    Niech A = {(x.y)eR': 1 < x £ 2 a -\<, y < 3j. Wówczas

Int A = |(x.y) e R^:: I < x <2 a -1 <y < 3).    A = A.

Czytelnikowi pozostawiamy interpretację geometryczną powyższych przykładów.    ■

OBSZARY. Niech X będzie dowolną przestrzenią metryczną.

Zbiór Ac=X nazywamy spójnym, gdy przy każdym przedstawieniu tego zbioru jako sumy dwóch zbiorów rozłącznych i niepustych A, i A₂, przynajmniej jeden z tych zbiorów zawiera punkty skupienia drugiego zbioru

Uwaga. W przestrzeniach R² i R ' przyjmuje się także zbiór nazywać spójnym, gdy dowolne dwa punkty lego zbioru można połączyć linią łamaną zawartą w' tym zbiorze

Zbiór spójny i otwarty nazy wamy obszarem. Domknięcie obszaru nazywamy obszarem domkniętym.

Zgodnie z przyjętym określeniem każdy przedział otwarty w Przestrzeni R jest obszarem. Na przykład zbiory