085 2

168 IX. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe

168 IX. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe

m kolumn

n wierszy'

r wierszy <	'	i	3	k-ta kolumna
|< V-	A		B
l-ty wiersz				Cu,

r kolumn

(9.7.5)

Zwróćmy uwagę na miejsca, w których zapisujemy pierwszy czynnik A iloczynu i drugi czynnik B iloczynu. Wyraz c_ik iloczynu położony w i-tym wierszu i k-tej kolumnie obliczamy tworząc sumę iloczynów elementów właśnie tego i-tego wiersza i tej k-tej kolumny jak to przejrzyście widać na schemacie.

Zadanie 9.15. Obliczyć iloczyn macierzy

A=

2 3' -1 4 5 1

-U

Rozwiązanie. Pierwsza macierz jest wymiaru 3 x2, a druga wymiaru 2x4, mnożenie jest więc wykonalne. Wypisujemy macierze zgodnie ze schematem Falka, a następnie obliczamy poszczególne wyrazy iloczynu:

J	3-120 -2-314
2 3	0 -11 7 12
-1 4	-11 -11 2 16
5 1	13 -8 11 4
r	0 -11 7 12
AB =	-11 -11 2 16
	13 -8 11 4
K> 1! o	^ci2 = 2 •(—1)+3

a więc

Na przykład

i czy*

Natomiast iloczyn BA nie istnieje, gdyż pierwszy czynnik ma 4 kolumny, a drugi nik ma 3 wiersze.

Zadanie 9.16. Obliczyć iloczyn macierzy

A=[2 -3],    B=[*].

Rozwiązanie. Mnożenie AB jest wykonalne, bo A jest wymiaru 1x2, a B wymiaru 2x1. Mamy

1

2 -3

_a więc AB = [5].

Zauważmy, że w tym przypadku mnożenie BA jest również wykonalne, bo liczba kolumn pierwszego czynnika jest 1 i równa jest liczbie wierszy drugiego czynnika. Schemat Falka daje

1	| 2 -3
4	1 8 -12
1	1 ^2 “^3

-E -3]-

a więc

BA

Widzimy więc, że AB#BA.

Z powyższych przykładów wnioskujemy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, przy czym jeśli iloczyn AB istnieje, to iloczyn BA może nie istnieć, a jeśli istnieje, to na ogól BA^AB.

Zadanie 9.17. Obliczyć iloczyn macierzy A i macierzy jednostkowej I, gdzie

A =

a b~ c d .

^e f

Rozwiązanie. Macierz A jest wymiaru 3x2, więc aby iloczyn Al istniał, musimy jako ®acierz jednostkową wziąć macierz stopnia drugiego, tzn. wymiaru 2x2. Mamy

1	1 0 0 1
a b	a b
c d	c d
e f	e f

^a więc AI = A.

Obliczmy jeszcze IA. Zauważmy, że aby ten iloczyn był wykonalny, jako macierz Mostkową musimy teraz wziąć macierz stopnia trzeciego, tzn. wymiaru 3x3. Stosując ^{c e}®at Falka otrzymujemy

^a%lA=A.

	a b c d e f
1 0 0	a b
0 1 0	c d
0 0 1	e f