103(1)

i po podstawieniu do (2), otrzymamy

I — xarcsinx4-]/l^—** +C

5)    Przyjmijmy u = x?, dv =- e^3xdx. Wtedy du = 2xdx, v = f e^3xdx => = Y f e^3xd(3x) = | e^3l i wg wzoru (*) znajdujemy

I = J _X²e-^x dx = y e^3x— — J *e³*r/x    (3)

Do ostatniej całki stosujemy ponownie wzór na całkowanie przez części. Bierzemy u = x, dv = e^3xdx. Wtedy du = dx, v = j e^3x dx =    <?³ .

Ze wzoru (*) otrzymamy

Po podstawieniu do (3) znajdujemy

/ =    (y    '^e^)^{+C =}    (9^-6*+2)+C

W przykładzie tym całkowaliśmy przez części dwukrotnie. Oczywiście, gdyby pod całką zamiast X¹ było xⁱ, należałoby całkować przez części trzykrotnie. Ogólnie, przy obliczaniu całki j xⁿe*dx, jak również całek / }f$mxdx, f x"cosxdx (gdzie wykładnik n jest liczbą naturabią) trzeba całkować przez części n razy.

6)    Niech u = e~^x, dv = cos~^dx. Wtedy du = —e~^xdx i v — j cos ~ dx — = 2 Jcccy ^{y] = 2sin Na mocy wzoru (*) mamy

/ = J e-*coSy dx = 2^*smy+2 J’e-*siny<&J = 2e-*siny+2/₁ (4)

Do otrzymanej całki 7j znowu stosujemy wzór na całkowanie przez części, przy czym bierzemy u = e~^x, dv = sin y ć/jc.

Znajdujemy

oraz

h = J e *sin \dx = -2e"^xcos-* -2 | e"^xcos~dx = -2<r*cos — ^J 2 2 ^J 2 2

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do równości (4) dochodzimy do równania, w którym wielkością niewiadomą jest szukana całka I

I — 2e ^sin ---j-2 — 2e~*c<>s ——21

i z którego znajdujemy

51 = 2e *sin — 4e~*cos-^-

; = i«-

'(™f—^2cosy)+^c

mianowicie «=sin Z-, dv — e ^Xdx, to otrzymalibyśmy du — — cos — dx

2 2

Gdybyśmy jednak przy obliczaniu całki h obrali u i dro w inny sposób, x 2

v = —e~^x, oraz

h = -e-^sin    j e~^J

,— X

x ,    . x , 1 _

cos—-zfce = — esm ——|~—7

który to wynik po podstawieniu do równości (4) dawałby nie równanie na I. ale oczywistą tożsamość / = 2e^_*sin *-+2|—e^_*sin^--f--^-/j; typu 0 = 0.

Przykład ten wskazuje r.a to, że powtórne całkowanie przez części może czasem doprowadzić do całki wyjściowej I, przy czym dostajemy wtedy albo równanie, z którego łatwo już wyznacza się I, albo też — przy niewłaś J c iwy ni wyborze u i dv przy drugim całkowaniu przez części —- bezużyteczną tożsamość.

Obliczyć całki:
483.	fxsinxdx	484.	1 x^2lnxdx
485.	1 ln (x^n)dx	486.	*’ t I (x^2j-l)e~^2xdx
487.	j xsec^3xdx	488.	1 xln(x— l)dx
489.	1 arce tg tdt	490.	J ln(l-j-x^2)dx

14 Metody rozwiązywania zadań /