10 (17)

166

8. Pewne funkcje specjalne

c) lim

tgx-x

d) lim^;

»ox(l-cosx)’ ' x-o tgx-x

6.    Niech f(x)f(y) = f(x+y) dla dowolnych rzeczywistych x i y.

a) Zakładając, że funkcja/ jest różniczkowalna i nie równa tożsamościowo zeru, pokazać, że f(x) m    gdzie c jest stalą.

b)    Udowodnić to samo zakładając tylko ciągłość funkcji /

7.    Udowodnić, że dla 0 < x < łn zachodzi — <    < 1.

n x

8.    Dla 11=0,1,2,... oraz x rzeczywistego wykazać, że |sinnx| < n|sinx|. Zwrócić uwagą, że dla innych wartości n powyższe nierówności mogą być fałszywe. I tak na przykład |sin£rc| > j|sinn|.

9.    a) Niech s_N *= l+(l/2)+...+(l/lV). Wykazać, że granica lim (s_w-logN) istnieje. (Granica ta oznaczana

N-* oo

najczęściej literą y nosi nazwę stałej Eulera. Jej wartość wynosi w przybliżeniu 0,5722.. Nie. wiadomo czy jest ona liczbą wymierną czy niewymierną).

b) Oszacować z grubsza wielkość m, przy której dla N = 10" zachodzi s_N > 100.

10.    Pokazać, że szereg X(l/p), gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie liczby pierwsze, jest rozbieżny. (Ukazuje to, że liczby pierwsze stanowią stosunkowo duży podżbiór zbioru liczb naturalnych).

Wskazówka. Dla danej liczby naturalnej N niech p_t....... będą wszystkimi liczbami pierwszymi, z których

każda dzieli bez reszty choć jedną z liczb < N. Wtedy

14. Niech/

i wywnioskował

(Niedawny artyl Zobacz Math. A

15. Dla D, <

i że:

a) K_n > 0;

Ż;^s fmmwmm i “^pŻ?

11=1 J-l    J=1    J-l

c) K_n(x) <

Ostatnia nierówność zachodzi z uwagi na to, że dla 0 4 x < - mamy (1—x)~¹ < e^u.

(Istnieje wiele dowodów tego faktu. Zobacz np. artykuł L Nivena w Amer. Math. Monthly, vol. 78, 1971, str. 272— 273, oraz R. Bellmana w Amer. Math. Monthly, vol. 50,1943, str. 318—319).

11.    Niech/ 6 91 na <0, A} dla dowolnego A < oo i niech f(x)->l przy x-»oo. Wykazać, że

limr J e~‘*f(x)dx =1 (t > 0).

i-o o

12.    NiechO < ó < n. Niech funkcja/ będzie określona warunkami:/(x) = 1 dla jxj < S,f(x) = Odlaó < |x| < oraz/(x+ 2ji) = f(x) dla dowolnego x.

a) Obliczyć współczynniki Fouriera funkcji/;

^as

Niech s_N = s So+^si+-+ ⁼ N+l

a stąd wyprowad: Jeżeli f jest f Wskazówki 16. Wykazać Jeżeli f e & c

b)

„i . ,    , Y^sin^ić) n-ó    ,    . .

Wywnioskować, że / —;— => —— (0 < o < n); / , ir    2

,    ....    ,, V«ⁿ²(«^)

c) Z twierdzenia Parsevala wyprowadzić równość > —^— = ——;;

17. Niech/b danych wzorem ((

a)    Wykorzys’

b)    Łącząca);

d)    Przechodząc S do 0, udowodnić, że

e)    Niech w c) <5 = n/2. Co otrzymamy?

;inx\^J, Jt —)^dX~2’

n i „2

13. Niech/(x)= xdla0 ^x < 2n i zastosujmy wzór Parsevala, w celu wyprowadzenia równości ^    = —.

c) Załóżmy, i teza z punktu b) z.

18.    Niech

Zbadać czy powyi odpowiedź.

19.    Niech/bę