10 (19)

170

8. Pewne funkcje specjalne

««i -*

dla dowolnego x.

Wskazówka. Zrobić to najpierw dla f(x) = e'^kx.

20. Za pomocą poniższych nietrudnych rachunków można otrzymać dobre przybliżenie formuły Stiriinga. Dla m = 1,2,3,... Określmy przy m < x < m+1

f(x) = (m+1—x)Iogm+(x-m)log(m+1)

oraz przy m— £ ^ x < m+j

g(x) ~ —1+logm.

Narysować wykresy/i g. Zauważmy, że f(x) < logx < g(x) dla x > 1 oraz że jf(x)dx= logfn!)-jlogn > -%+]g(x)dx.

i i

Całkując logx na przedziale <1, n), wywnioskować, że dla n = 2, 3,...

t < log(n!)-(n+i)logn+n < 1.

(n/efjn

(Zauważmy, że logy/żn w 0,918...) Zatem e^7/8

21. Niech L„ = — J"\D„(t)\dt (n = 1,2, 3,._). Wykazać, że istnieje liczba C > 0 taka, iż L_n > C logn (« =

= 1,2,3,...) lub, dokładniej, że ciąg |f..— -^lognj jest ograniczony.

22. Dla — 1 < x < 1 oraz liczby rzeczywistej a wykazać dwumianowe twierdzenie Newtona

o+xr =i+? 1—-A-*x".

Wskazówka. Oznaczmy prawą stronę przez f(x). Wykazać, że szereg jest zbieżny. Wykazać, że (1+x)/'(x) = = a/(x) i rozwiązać to równanie różniczkowe. Pokazać też, że dla -1 < x < 1 oraz a > 0

.. Vr(r,+«)

11 = 0

23. Niech y będzie różniczkowąlną w sposób ciągły krzywą zamkniętą na płaszczyźnie zespolonej, o parametrze przebiegającym <a, b}. Załóżmy, że y(f) # 0 dla r e (a, ł>>. Określmy indeks krzywej y:

Ind(y) * Hg 2it/Jy(r)

Wykazać, że Ind (y) jest zawsze liczbą całkowitą.

Wskazówka. Istnieje funkcja <p określona na <a, b), dla której <p' = y'/y, <p(a) = 0. Wtedy ycxp(~ ęi) jest funkcją stałą. Ponieważ y(a) = y(b), więc wynika stąd, że exp <p(b) = exp <p(a) = 1. Zauważmy, że <p(b) = 2m^- Ind(y). Obliczyć Ind(y) dla y(t) = e'“, a = 0, b m 2it. Wyjaśnić dlaczego Ind(y) jest często nazywany liczbą obiegów y wokół 0.

24. Niech y będzie jak w zadaniu 23, i załóżmy dodatkowo, że obraz y nie przecina części ujemnej osi rzeczywistej. Wykazać, że Ind(y) s* 0.