10 (26)

177

Przekształcenia liniowe

wyboru bazy w przestrzeniach X i Y. Temu samemu przekształceniu A można przyporządkować różne macierze, w zależności od wyboru bazy i na odwrót. Nie będziemy zatrzymywali się nad tą uwagą, ponieważ zwykle będziemy mieli do czynienia z ustalonymi bazami. (Kilka uwag na ten temat można znaleźć w p. 9.37.)

Jeżeli Z jest trzecią przestrzenią wektorową, z bazą {z_l5..., z_pj, A jest dane wzorem (3) oraz

By i =    (BA)Xj — ZctjZit,

k    k

lo A 6 L(X, Y\ B e Z\ BA e UX₉ Z) i ponieważ

B(Axj) = Bj^a ijYt =    = Y^aiiLb_kiz_k =

i    1    i. k    k i

więc z niezależności [z_u..., z_p} wynika, że

(5)    c_kJ = YJ}_kiaij (1 < k $ p, 1 4 j ^ n).

i

To pokazuje, w jaki sposób znaleźć macierz [BA] o p wierszach i n kolumnach, mając dane macierze [B] i [4], Jeśli zdefiniujemy iloczyn [B] [/4] jako [B.4], to wzór (5) daje zwykła regułę mnożenia macierzy.

W końcu załóżmy, że {x₁,..., x_n} i {y,...., y_m} są bazami standardowymi w R"iR^m oraz że przekształcenie A jest dane wzorem (4). Z nierówności Sclwarza wynika, że

\Ax\² =    ^ I[(Ia?.) (Ic?)] = Ea5|x|².

( j    i J j    i,j

Zatem

(6)    Ni <

U

Jeżeli W'zór (6) zastosujemy do B—A zamiast do A, gdzie A, Be L(R", R^m), to widzimy, że jeśli elementy a,, są funkcjami ciągłymi parametru, to A jest także ciągłe względem parametru. Dokładniej:

Jeśli S jest przestrzenią metryczną, a, _t,..., a_mn są ciągłymi funkcjami rzeczywistymi na S i jeśli dla każdego p£S, A_pjest przekształceniem liniowym R" w R^m,którego macierz składa się z elementów a,;(p), to odwzorowanie p-*A_pjest odwzorowaniem ciągłym S w L{R", R^m).

Różniczkowanie

9.10. ROZWAŻANIA wstępne. Aby dojść do zrozumienia jak powinna wyglądać teoria różniczkowania funkcji, których dziedziną jest Rⁿ (lub otwarty podzbiór R"), przyjrzyjmy się w inny sposób znanemu dobrze przypadkowi, kiedy n = 1, i zobaczmy jak należy interpretować w tym przypadku pochodną, aby móc w sposób naturalny przenieść tę interpretację na przypadek n > 1.

12 - Podstawy analizy matematycznej