10 (45)

196

9. Funkcje wielu zmiennych

{elt..., e„}. Niech a(i,j) będzie elementem tej macierzy, znajdującym się na przecięciu i-tego. wiersza i j-tej kolumny. Wyznacznikiem macierzy [/l] jest liczba	gdzie sumów mocy c) i d)
(^83) det[/4] = - ,jn)a(l,ji)a{2,j2)..M(n,jn).	(88)
Sumowanie we wzorze (83) jest rozciągnięte na wszystkie uporządkowane układy wskaźników 0„ ...,;„), gdzie 1 < jr < n.	gdzie t = 0,
Wektorami kolumnowymi \j macierzy [A] są	(89)
n (^84) ^xy= £^a('J)*i 1=1	Podstawiają
Jest rzeczą wygodną przedstawić det[/4] jako funkcję określoną na wektorach, które są kolumnami macierzy [/!]. Jeżeli piszemy det(xl5..., xj = det£/t], to det oznacza teraz funkcję rzeczywistą na zbiorze wszystkich uporządkowanych układów n wektorów przestrzeni R^n.	dla wszystki suma w naw
9.34. TWIERDZENIE, a) Jeśli I jest operatorem identycznościowym na R", to det [7] = det(e1,..., e„) = I.	9.36. T\) det [4] # (
b)    det jest funkcją liniową kolumny Xj, przy innych kolumnach ustalonych. c)    Jeśli [/4]x otrzymaliśmy z [4] przez zamianę dwóch kolumn, to det [4]t = —det [/I], d)    Jeśli [/4] ma dwie kolumny identyczne, to det [4] = 0.	Dowód
Dowód. Jeśli 4 = 7, to a (i, i) — 1, a(i,j) = 0 dla i # j. Zatem det [7] = s(l, 2,..., n) = 1,	a więc det [ Jeśli A n liniowo zali
co dowodzi a). Z (82) sO^, >j») = 0, jeśli jakiekolwiek dwie spośród liczb j są równe. Każdy z n! pozostałych iloczynów we wzorze (83) zawiera dokładnie po jednym czynniku z każdej kolumny. To dowodzi b). Punkt c) jest natychmiastową konsekwencją tego, że s(jt.....j„)	(90)
zmienia znak, jeśli którekolwiek z dwóch liczb j zostaną przestawione. Punkt d) jest wnioskiem z c). 9.35. TWIERDZENIE. Jeśli [A] 7 [77] są macierzami o n wierszach i n kolumnach, to	dla pewnyc wartości w] równości (9 jest wektor
det([77] {A)) = det [77]det [4], Dowód. Jeśli xlt..., x„ są kolumnami macierzy [zł], to zdefiniujemy (85) dfl(x1,..., x„) = 4a[4] = det([77] [4]). Kolumnami macierzy [77] [4] są wektory Bxu..., 77x„. Zatem	9.37. U Każdy ope wzorami:
(86) AB{xlt..., x„) = det(Bxt,..., Bx„). Z (86) i twierdzenia 9.34 AB ma także własności 9.34 od b) do d). Na mocy b) i (84)	Jeśli uj = f
= dB(]Ta(i, l)e(, x2,..., x„) = £a(i, l)4B(e„ x2,..., x„). « Powtarzając to postępowanie dla x2,..., x„, otrzymamy (87) ds[4] = Z^a0i> ^l)^a(h, 2)...a(i,„n)Au(eit,...,e/(i),	a także wel