10 (51)

202

9. Funkcje wielu zmiennych

Jeżeli rozwiążemy to równanie zauważając, że /(O) = ^/n (porównaj punkt 8.21), to stwierdzimy, że

(111)    f(t) = <fń exp(- |t²).

Zatem całka (104) może być podana explicite.

Zadania

1.    Pokaa&ć, że dla niepustego podzbioru S przestrzeni wektorowej X, span Sjest przestrzenią liniową (zgodnie z punktem 9.1).

2.    Wykazać (jak się twierdzi w punkcie 9.6), że dla przekształceń,liniowych A, B ich superpozycja BA jest też przekształceniem liniowym. Wykazać też że w przypadku, gdy A jest odwracalne A~^l jest przekształceniem liniowym.

3.    Niech A £ L(X, V) i A\ = 0 tylko wtedy, gdy x = 0. Wykazać, że A jest 1:1.

4.    Wykazać (zgodnie z treścią punktu 9.30), że jądra i obrazy przekształceń liniowych są przestrzeniami liniowymi.

5.    Wykazać, że dla każdego A e IfR^R¹) istnieje jedyny element y e R", dla którego Ax = x ■ y. Wykazać też, że

It4 = M-

Wskazówka. Przy pewnych warunkach w nierówności Schwarza mamy równość.

xv

6.    Niech/(0,0) = 0 oraz/(x, y) = -₂ ■■■.₂ dla (x, y) # (0,0). Wykazać, że (£>,/)(x, y) i (D₂ f)(x, y) istnieją w ka-

x +y

żdym punkcie R², niemniej jednak/nie jest ciągła w (0,0).

7.    Niech / będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na otwartym zbiorze E <= R". Załóżmy, że pochodne cząstkowe DJ, D₂f..., OJ są ograniczone na E. Wykazać, że/jest ciągła na E.

Wskazówka. Postępować jak w-dowodzie twierdzenia 9.21.

8.    Niech / będzie różniczkowalną funkcją rzeczywistą określoną na otwartym zbiorze E <= R'\ i niech/ma maximum lokalne w punkcie xe E. Wykazać, że/'(x) = 0.

9.    Niech f będzie różniczkowalnym odwzorowaniem spójnego zbioru otwartego £ c R" w R"‘, Jeżeli f'(x) = 0 dla każdego x £ E, to f jest stała w £.

10.    Załóżmy, że (D, f )(x) = 0 dla każdego x należącego do otwartego wypukłego zbioru E c R". Dowieść, że /(x) zależy jedynie od zmiennych x₂,..., x„. Wykazać, że wypukłość zbioru E może być zastąpiona słabszym warunkiem, ale pewien warunek trzeba narzucić. Na przykład, jeśli n = 2 i zbiór E ma kształt podkowy, to twierdzenie może być fałszywe.

11.    Jeżeli f i g są funkcjami różniczkowalnymi o wartościach rzeczywistych określonymi na R", to wykazać, że V (/{?) = f Vg+g'Vf i że V (1,/) = -f² Vf o ile / # 0.

li Ustalmy dwie liczby rzeczywiste a i b, tak, że 0 < a < b. Określmy odwzorowanie f = (/,,/₂,/₃) z i?³ doi?³ za pomocą wzoru

fi (s> t) = (b+acoss)cost, f₂(s, t) — (b+acoss)sint, f₃(s, t) = asins.

Opisać obraz K odwzorowania f. (Jest to pewien zwarty podzbiór R³.)

a)    Pokazać, że istnieją dokładnie 4 punkty p zbioru K takie, że (V/,) (f" *(p)) = 0. Znaleźć te punkty.

b)    Opisać zbiór tych wszystkich q£ K, że (VJ_}) (f ‘(q)) = 0.

c)    Pokazać, że jeden z punktów⁷ pe K znalezionych w a) jest punktem maximum lokalnego /Jeden minimum lokalnego/, a dwa pozostałe nie są ani punktami maximum, ani minimum (noszą one nazwę „punktów siodłowych").

Które z punktów q znalezionych w b) odpowiadają maximum, a które minimum?

d)    Niech A będzie niewymierną liczbą rzeczywistą. Określmy g(t) = f(r, At). Wykazać, że g jest 1:1 odwzorowaniem odwzorującym R¹ na gęsty podzbiór K. Wykazać, że