120 2

238 XI. Szeregi potęgowe Zadania 239

238 XI. Szeregi potęgowe Zadania 239

Ponieważ wszystkie pochodne funkcji / (x) = sin x są ograniczone, jest bowiem spe) niony warunek |/^(B)(x)| < 1 dla dowolnego n i każdego x, więc (na podstawie uwagi na stro' nicy 236) jest spełniony warunek lim R„- 0.

n-+ co

Zadanie 11.10. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję /(x) = cos x. Rozwiązanie. Pochodna dowolnego rzędu n wyraża się wzorem

f^M(x) = cos (x + n • -|jt).

Otrzymujemy stąd pochodne:

/<⁴*⁺»(x)=-sinx,    skąd /⁽⁴‘⁺¹⁾( 0) = 0,

/<⁴*⁺²'(x)=-cosx,    skąd /^<4*⁺²⁾(0)=-l,

/^{(4t + 3)}(x) = sinx,    skąd f^(4k+3,(0) = 0,

/⁽⁴*> (x) = cos x,    skąd f^4k)(0) = 1.

Dołączając warunek/(0)= 1 otrzymujemy poszukiwane rozwinięcie

: +...

x² x⁴    x^4k    x⁴* ^{+ 2}

41

214

696

i ogólnie skąd

5(5-0    _S(s-l)(s-2) ,

ii ⁺^r^x +—ji— * +■

^an+ 1		s — n
a„		n + l

^2a°anie 11.13. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

/(*)=-

Vi

+x

^{cosx 1}    2! ⁺ 4!    ⁺(4/c)! (4k+2)l

Łatwo wyliczyć, że R— +ca. Warunek lim R„ = 0 jest spełniony, gdyż funkcje cos*

n^-+oo

i wszystkie jej pochodne są co do bezwzględnej wartości nie większe od 1.

Zadanie 11.11. Rozwinąć w szereg Taylora funkcję

/(x)=10x⁵+7x⁴-12x³+x²-3x + 5

W' otoczeniu punktu x = 1.

Rozwiązanie. Obliczamy wartości pochodnych w punkcie x=l:

/'(x) = 50x⁴ + 28x³ — 36x² + 2x — 3,    skąd    /'(1) = 41,

/ ”(x) = 200x³ + 84x² — 72x + 2,    skąd    /"(1) = 214,

/"'(x) = 600x² +168x—72,    skąd    /"'(1) = 696,

/⁽⁴⁾(x) = 1200x +168,    skąd /⁽⁴⁾(1)= 1368,

/^<5)(x) = 1200,    skąd /^(5,(1)= 1200,

a wszystkie dalsze pochodne są równe zeru. Obliczamy również

/(l) = 10 + 7 —12 + 1—3 + 5 = 8 i po podstawieniu do wzoru (11.2.2) otrzymujemy

1368    „4,1200^ „s?

^ pU U^1U9/,ŁXCU]U

/(x) = 8+41(x—l) + 107(x—l)² + 116(x—l)³ + 57(x—l)⁴ + 10(x—l)^s. Zadanie 11.12. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

/(x) = (l+x)^J,

gdzie s jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera.

Rozwiązanie. Obliczamy kolejne pochodne funkcji:

/'(x) = s(l +x)^s_l,    skąd /'(0) = s;

/"(x) = s(s-l)(l+x)^,_2.    skąd /"(0)=s(s-l),

/'"(x) = s(s-l)(s-2)(l+x)'^-3, skąd /"'(0) = s(s-l)(s —2),

/^<"^>(x) = s(s — l)(s —2)... (s —n + 1)(1 +x)^s

/^<B,(0) = s(s— l)(s —2)... (s —n +1). Dołączając/(O) = 1 otrzymujemy poszukiwane rozwinięcie

(O

Biorąc stosunek a_n+J/a„ po uproszczeniu otrzymujemy:

► 1,    gdy n-» oo

na podstawie twierdzenia (11.1.3) promień zbieżności R= 1.

Jeżeli 5 jest liczbą naturalną, to rozwinięcie (1) zawierać będzie skończoną ilość 5+1 wyrazów, gdyż funkcja, którą rozwijamy, jest wówczas wielomianem stopnia s i tym sa-ⁿ'ym ma tylko 5 pochodnych różnych od zera (por. zad. 11.11). Jeżeli s nie jest liczbą ^turalną i 5+0, to rozwinięcie (1) jest nieskończone i należy zbadać resztę R„. Można Okazać, że wówczas dla |x|< 1 reszta R„ dąży do zera.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>-l. Podstawiając we wzorze (1) poprzedniego Udania s= otrzymujemy

1    -i.r-Ss    ¹