13cz1

Wzory Vi£te’a

*165. Nie obliczając miejsc zerowych trójmianu kwadratowego, ustal ich znaki.

!>a) f(x)=x² + 4x + 3;    c) f(x) =\x² -4^x + 4;

-■>■^{1 2 3} 2.2

I; b) f(x)=x²+(V3-V2)x-V6;    d) f(x) = -^x² -7x - 24 .

£

*2.72. Ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są podane liczby. ^a) ^xi ⁼ T—Z~Fr ^oraz x2 = ~—’>    b) x, = -—oraz x₂ =    ^

4-2V3

4+ 2V3 '

6-3V5

6 + 3V5 '

*2.73. Napisz równanie kwadratowe, jeżeli jego pierwiastki są odpowiednio równe x, =

oraz x₂ = — , gdzie a ⁴ 0 i 6⁴0. a

Równania kwadratowe z parametrem

1

-------- -..... —• - -

¹

2

2.66. Oblicz w pamięci miejsca zerowe trójmianów kwadratowych. Pamiętaj o sprawdzeniu, czy trójmian ma miejsca zerowe.

a) f{x) = x² - 8x + 7;    c) f(x) = -x² -4x -t 5 ;

b) f(x) = x² -12x + 20;    d) f{x) = -x² -6x + 27.

*2.67. Przekształć poniższe wyrażenia tak, aby wykorzystując wzory Viete'a można było obliczyć wartości tych wyrażeń, wiedząc, że x,, x₂ to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego f(x) = V3x² - (2\/3 + 1 )x + 4l:

a) — + — ;    c) ——4—- ;    ^e) (x₁ — x₂) ;

x, x₂    x, x₂

b) x² +.x₂ ;    d) — + —;    f) x,³ + x\ .

*2 ²1

*2.68. Wyznacz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego f{x) = x² + fox + c, wiedząc, że jego miejsca zerowe x_u x₂ spełniają warunki:

1 1

a)    x, = -2-    i x, +x₂    c)    x, = 3 i x, +x₂ = 10;

b)    x, = 9 i x,-x₂ =-63;    d)    x, =0,5 i x,-x₂ =-0375.

*2.69. Niech x,,x₂ oznaczają miejsca zerowe trójmianu kwadratowego f(x) = ax² +bx + c. Określ znaki współczynników tego trójmianu, wiedząc, że:

a)    f{ 0) = 3 i    x, >0 i x₂ >0;    d)    f{ 0) = -1 i x, < 0 i x₂ < 0;

b)    f( 0) = -2    i x, >0 i x₂ >0;    e)    f( 0) = 2 i x_} = x₂ i x₂ > 0 ;

c)    /'(O) = 5 i    x, <0 i x₂ <0;    f)    f( 0) = -3 i x, = x₂ i x, < 0.

*2.70. Ułóż równanie kwadratowe takie, aby:

a)    suma pierwiastków równania była równa 2 oraz aby suma kwadratów pierwiastków była równa 16;

b)    suma pierwiastków równania była równa 5 oraz aby kwadrat różnicy tych pierwiast-. ^ ków był równy 37;

c)    suma pierwiastków równania była równa -5 oraz aby suma odwrotności jego pierwiastków była równa 10;

d)    iloczyn pierwiastków równania był równy 4 oraz aby suma odwrotności kwadratów jego pierwiastków była równa 2.

3

*2.139. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania?

_a)    (m-2)x² + (m + 5)x-m-1 = 0;    d) x² + (2m-3)x + 2m + 5 = 0;

b)    (m + 2)x²    -2x + m + 2 = 0;    e)    mx² -(2m — 1 )x + 2m-1 =    0;

c)    mx²-(m    + 1)x-2m + 3 = 0;    0    (m-3)x² + 4mx + m = 0 .

*2.140. Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru m (m e R). Napisz wzór i narysuj wykres funkcji y = g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania:

a)    (m-5)x²-4mx + m-2 = 0;    c)    (m — 1 )x² -(m + 1)x + m + 1    = 0;

b)    (m -3)x²    + (m - 2)x + 1 = 0;    d)    (2m -3)x² + 4mx + m -1 =    0.

*2.141. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m (rn e #?) podane równanie ma rozwiązanie. Znajdź je.

a) mx² + (3m + 1)x + 2/o + 1 = 0;    b) mx²-(4m + 1)x + 3m + 1 = 0.

*2.142. Pierwiastkami równania X² + bx + 2b = 0 są dwie różne liczby x_t, x₂. Stosując wzory Viete'a zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru fa, dla której wyrażenie x²x₂ +x,x₂ +3x,x₂ osiąga wartość równą 4.

*2.143. Pierwiastkami równania X² - (b + 1 )x + b - 0 są dwie różne liczby x,, x₂. Stosując wzory Viete'a zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru b, dla której wyrażenie (xi + 3x₂)(x₂ + 3x,) osiąga wartość równą 16.

4

2.144. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków?

a)    x² + (2m - 3) x + 2m + 5 = 0;

b)    x² + 2(m + 1)x + 9m-5 = 0;

c)    x² - 2(m — 1)x + 2m + 1 = 0;

d)    2x² -3(m- 1)x + 1 -m² =0.