198(1)

R'_y = z⁵ i podstawiając je do wzoru Stokesa, otrzymujemy * = 3 Jf xzy^//x²+y² dxdy

a

Jako a można wziąć dowolną powierzchnię (gładką lub kawałkami-gładką), rozpiętą na danym konturze I. Korzystając z tego, jako a obieramy część danej powierzchni stożkowej z = j x²+y² ograniczonej konturem /.

Wówczas, całkując po wewnętrznej stronie obranej powierzchni, na której obieg konturu J jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, znajdujemy

I 2

K — — 3 | f x(x^l+y²)dxdy = — J dy f (x³+xy²)dx = —14

A    o

*y

gdzie a_xy — prostokąt O A_XB_XG\.

W zadaniach 910—913 obliczyć całki powierzchniowe pierwszego typu.

910.    // ds, gdzie a jest częścią płaszczyzny xĄ-y-r-z = a, leżącą w 'pierw-

<7

szym oktancie przestrzeni.

911.    ffxds, gdzie T — powierzchnia półkuli z — } 1—x²—y².

T

* 912. ff ( x²~hy^z)ds, gdzie W—część powierzchni paraboloidy x²-\-w

-j- y² = 2z, odcięta płaszczyzną z = 1.

913.    /J (.y^:>^,2-t x²z^l~y²z²)ds, gdzie a jest powierzchnią, odciętą od

a

powłoki stożka z — y x^l+y² walcem x²+>-² — 2x.

W zadaniach 914—917 obliczyć całki powierzchniowe drugiego typu.

914.    // (y²-{-z²)dydz, gdzie a — zewnętrzna strona części paraboloidy

o

x = a²—y²—z², odcięta płaszczyzną yOz.

ir»

» 915. < lj> z²dxdy, gdzie a — elipsoida x²+y²-\~2z² = 2.

— O

₀ 916. jl) zdxdyĄ-ydxdzĄ-xdydz, gdzie rf — powierzchnia sześcianu ogra-

— a

niczonego płaszczyznami: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

917. (jij) (z+])dxdy^ gdzie W— sfera x²Ry²+z² = R².

+w

aos

918.    Zadania 915, 916, 917 rozwiązać za pomocą wzoru Gaussa-Ostro-gradskiego.

919.    Korzystając ze wzoru Stokesa obliczyć całki krzywoliniowe:

D / (2x+y)dx—2ydy, gdzie L —■ obwód trójkąta o wierzchołkach

-L

A(0, —1), B(0, 2), C(2,0). Jako powierzchnię d przyjąć pole trójkąta.

• 2) j 8_yy (1 —jc²—z²)³ dx-\-xy^ldy-\-smzdz, gdzie / — zamknięty kontur

ACBA (rys. 198), dany w zad. 907(2). Za powierzchnię d wziąć część powierzchni danej elipsoidy.

§ 12. Obliczanie wielkości za pomocą całek powierzchniowych

1) Pole powierzchni a

S = ff ds    (1)

a

2)    Masa powierzchni materialnej

m = ff 8(M)ds    (2)

a

gdzie <5(A/) oznacza gęstość powierzchniową rozkładu masy w punkcie M(x, y, z) powierzchni a.

3)    Współrzędne środka ciężkości C powierzchni d

x =    =

m

Jjx6ds

a

ffddT’

y_c

ff ydds

ITddT’

(3)

ffzdds ff óds

gdzie: m_ys,m_xz,m_xy— momenty statyczne powierzchni d względem płaszczyzn układu.

Jeśli powierzchnia jest jednorodna, to <5 = const i wzory te uproszczą się Po wyłączeniu 6 przed znaki całek.

399