43171 str253

§8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 253

i podstawiamy je do równania (2) otrzymując stąd następujący związek:

X'_n'T_n = -₂X„T",

v

który wobec założenia u„(x, /) ^ 0 możemy zapisać w postaci

xi ₌ J_ ę

v²'r_n'

Jeżeli X_n{x) i T„{ł) będą rozwiązaniami równań

(7)

^Xn '    ,2

to funkcje u„(x, t) będą spełniały równania (2).

Równanie (7) możemy zapisać następująco:

_(g)    X'_B'+fa_n = 0,

T;'Wk²nT_n = 0.

Całkami ogólnymi równań (8) są funkcje

X_n(x) — A„ cos X„x + B_n sin X„x, T_n(t) = C_n cos X„vt + D_n sin X„vt. Z warunków brzegowych (5) otrzymujemy

im

X_n(0) = A„,    X„(l) = B_n sin /„/,    /„ = y,

natomiast z warunku początkowego (4) mamy

T,;(0) = ;.„D_n = 0, D_n = 0.

Obecnie funkcję u(x,t) możemy zapisać w następującej postaci:

(9)

Ema nirot £„sin — cos — ,

gdzie = Ą,C„. Funkcja (9) spełnia warunki (4) i (5).

Wartości współczynników E„ wyznaczamy z warunku początkowego (3)

w

Z

£„sin—y=/(x)    dla 0 <x<l,

gdzie /(x) jest funkcją określoną relacją (1). Współczynniki E„ obliczamy zatem ze wzoru (1)

V    ‘

2U₀ f nnx    [( x \ . wtx

— xsin-^—d/ + 2C/₀ (l —yjsin-y

£„ =

I

I

mxx

sin ~j~dx

\