57637 str243

5 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 243

podstawiamy do równania (1) i stąd otrzymujemy następującą zależność:

X'_n'(x)T„(t) = iX_n(x)T;(t),

którą wobec założenia u_n(x, /) ^ 0 możemy zapisać następująco:

x: _ i t;

⁽⁷⁾    X_n 4 T_n'

Jeżeli X_n(x) i T„(t) będą rozwiązaniami równań

X"    1 T'

(8)

^An _ «j2    _ 12

ⁿ’ 4 T.

to funkcje (5) będą spełniały równanie (1). Równania (8) zapisujemy w postaci (9)    x'_n'+żX = o, t;+AX²nT_H = 0.

Całkami ogólnymi równań (9) są funkcje

X_n(x) = A„ cos A„x + B„ sin X_nx,

T_n{t) = C_nexp(-4A_n²/).

Z warunków brzegowych (3) mamy

nn

X„(0) =/ł,, = 0,    *„(a) = B„sinA„a = 0, A„ = —.

a

r    \

Rozwiązanie równania (1) możemy obecnie zapisać w postaci

00

Euro:    / 4n²Jt² \

B„sin—-expl--

n= 1

gdzie £>„ = B„C„. Funkcja (10) spełnia warunki brzegowe (3) oraz warunek limu = 0.

f-* oo

Współczynnik D„ wyznaczamy w ten sposób, ażeby był spełniony warunek początkowy (3) u(x, 0) = u₀, zatem

(U)

Emix

D„ sin— — u₀ dla 0<x<a.

n= 1

D„ są współczynnikami występującymi w rozwinięciu funkcji f(x) w przedziale < — a, a) na uogólniony szereg Fouriera następującej postaci:

0	dla	x = —
-«o	dla	— a<x<0,
0	dla	X II o
«0	dla	0<X<<! ,
0	dla	x = a.

00

(12)    ^ D„ sin ^ = /(x) =

16*