1 (28)

34

2ł* Podstawy topologii

Niech teraz H = fi G_t. Dla dowolnego x e H istnieje Otoczenie Ni punktu x o promieniał

1=1

takie, że N_t c G₍ (i= l,...,n). Przyjmijmy r = min(r₁,...,r_B) i niech iV będzie otoczeniem punktu x o promieniu r. Wówczas N c Gi dlai= l,.,,,n, a więcA^r c Hi zbiótH jest otwartej

Przechodząc do dopełnień, dowodzimy d) z c):

2.25.    Przykłady. W części c) i d) poprzedniego twierdzenia założenie skończoności I rodzin jest konieczne. Rzeczywiście, niech G„ będzie przedziałem (- 1/n, l/pi) (n = 1,2,3,...). I

Wówczas G„ jest otwartym podzbiorem prostej R¹. Przyjmijmy G m fi G„. G składa się I

»=i

z jednego punktu (jest nim x m 0) i dlatego nie jest otwartym podzbiorem R¹.

W ten sposób iloczyn nieskończonej rodziny zbiorów otwartych nie musi być otwartyJ Podobnie suma nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych nie musi być domknięta.

2.26.    DEFINICJA. Jeżeli X jest przestrzenią metryczną, E c X oraz.£' oznacza zbiór# punktów skupienia E, to domknięciem zbioru E nazwiemy zbiór E — EkjE\

2.27.    Twierdzenie Jeżeli X jest przestrzenią metryczną, E e X,to:

a)    E jest zbiorem domkniętym;

b)    E = E Wtedy i tylko wtedy, kiedy Ejest domknięty;

c)    E c F dla każdego F domkniętego zawierającego E;

d)    Na podstawie a) i c) E jest najmniejszym domkniętym podzbiorem X zawierającym E. i

Dowód, a) Jeżeli p e X oraz p $ £, to p nie jest ani punktem £, ani jego punktem 1 skupienia. Zatem p posiada otoczenie nie przecinające się z E. Uzupełnienie E jest więc I zbiorem otwartym, a więc E jest zbiorem domkniętym.

ty Jeżeli £ =£, to ą) pociąga, że £ jest zbiorem domkniętym. Jeżeli £ jest domknięty, to £' p £ (na mocy definicji 2.18d) i 2,26), wobec tego £ = £.

c) Jeżeli F jest domknięty i £ a £, to F F, a więc £ => £' i wobec tego £ o £.

2.28.    TWIERDZENIE. Niech E będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych ograniczonym 1 z góry. Niech y — sup£. Wtedy y §.£, Zatem y e E_yjeżeli E jest domknięty,

Czytelnik zeęhce porównać to twierdzenie z przykładem z paragrafu 1.9..

Dowód. Jeżeli y s £, to y e £. Przypuśćmy, że y £ £. Wtedy dla dowolnej liczby h > 0 istnieje punkt xe£, taki, że y—h < x < y, gdyż w przeciwnym przypadkuy-h byłby kresem górnym £. Zatem y jest punktem skupienia £, a więcy e £.

2.29.    UWAGA. Niech £ c Je J, gdzie X jest przestrzenią metryczną. Zdanie, że £ jest otwartym podzbiorem X oznacza, że z każdym punktem p e £jest związana liczba dodatnia r taka, że warunek d(p, q) '<■ r spełniony dla qeX pociąga, że ąsE. Zauważyliśmy już jednak, że (§ 2.16) yjest także przestrzenią metryczną, i wobec tego możemy także określać otwartość |

F 232. DEF1 Mbyckotm Mówiąc śc krss skończ

Pcjęcie zwarte 4zńł4).

Jest rzeczą I zbiorów zwartj Wcześniej z względem Y, nie od przestrzeni, < Jednak zwai łować następne jeśli są spełniom