1 (22)

28

A u B = B,

2. Podstawy topologu

tak jak dla sumy. Jeśli A n B nie jest zbiorem pustym, to będziemy mówić, że A i B przecinają się, w przeciwnym przypadku, że są rozłączne.

2.10. Przykłady, a) Przypuśćmy, że E_t składa się z liczb 1, 2,3, a E₂ z liczb 2, 3, 4. Wówczas E₁'jE₂ składa się z liczb 1,2,3,4, podczas gdy E_t r> E₂ składa się z 2,3.

b) Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych x takich, że 0 < x < 1. Dla dowolnego xz A niech E_x będzie zbiorem wszystkich Jiczb rzeczywistych y spełniających 0 < y < x. Wówczas

(i)    Ę_x <=■ E_z wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < x < z < 1;

(ii)    U E_x -

(iii) f) £* jest pusty.

xeA

(i) oraz (ii) są oczywiste. Aby udowodnić (iii), zauważmy, że dla dowolnego y > 0 zachodzi y i E„ jeśli x < y. A więc y £ f) E_x.

xeA

2.11. Uwagi. Suma i iloczyn zbiorów mają wiele podobnych własności do dodawania i mnożenia; w istocie, słów dodawanie i mnożenie używa się czasem w pierwszym znaczeniu i pisze się symbole £ i J”[ zamiast (J i (j-

Prawa przemienności i łączności są spełnione trywialnie:

(8)    A u B = B u A; A r> B = B n A,

(9)    (A u B) u C = A u (B u C), (A n B) n C = A n (B n C).

Tym jest usprawiedliwiony brak nawiasów w (3) i (6). Zachodzi także prawo rozdzielności:

(10)    A n (B u C) = (A n B) u (A n C).

Aby to udowodnić, oznaczmy lewą i prawą stronę równości (10) odpowiednio przez E i F. Przypuśćmy, że x e E. Wówczas xe/łixefiuC,tj. xsB lub xeC (lub jednocześnie do B i do C). Stąd xe A n B lub x e A n C, a więc x e F, czyli E <= F.

Załóżmy następnie, że x e F. Wówczas    łub xe/lnC.To jest x e Ai x e B u C\

czyli x e A n (B u C), a więc F a E. Stąd E = F.

Wyliczmy kilka łatwych do udowodnienia, twierdzeń:

(11)    A cr A u B,

(12)    A n B c A.

Jeśli przez O oznaczymy zbiór pusty, to

(13)    A u O = A. Ars 0=0.

Jeśli A <= B, to

A n B = A.

p5)

■wczas zbiór S jest Dowód. Ustawn nieskończoną:

* której elementy zbi eoioru S. Te element

<17)

Jeśli jakiekolwiek dw. Stąd istnieje podzbić: nie więcej niż przelicz musi być nieskończoi

Wniosek. Przyp. nie więcej niż przelicz

Wtedy T jest nie więc

Rzeczywiście T je

2.13. Twierdzeń wszystkich ciągów (aj a_t,...,a_m nie muszą by

Dowód. To, że zt że B„-_t jest przelicza] (18)

Przy każdym ustalon jest przeliczalny. W l wynika, że B„ jest prz

Wniosek. Zbiór

Dowód. Zastosuj wymierna r ma postai ułamków b/a, jest prz