1tom018

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI 1 FIZYKI 38

Na przykład dla równania falowego

1. WYBRANE ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI 1 FIZYKI 38

z warunkami początkowymi

“(*> *)l»-o = V(x), —    = ip(x),    x e (0, /)

i = a

i brzegowymi u(0,t) — u(l,t) = 0 (jednorodnymi zerowymi) rozwiązania poszukuje się w postaci iloczynu dwóch funkcji

u(x,t) = X(x)-T(t)

które mają drugie pochodne cząstkowe. Podstawiając u(x,f) = X (x)T(t) do równania falowego otrzymuje się — równanie różniczkowe zwyczajne

X ”(x) + ).X (x) = 0 z warunkiem X (0) = X (l) = 0

o rozwiązaniu X„(x) = C„ sin,/!^*

są wartościami własnymi zagadnienia;

— oraz równanie różniczkowe zwyczajne

T'(t) + X_nT(t) = 0

o rozwiązaniu T„(t) = A_ncos^/ż^t + B_n sin^/ż„ t.

Formalna superpozycja tych rozwiązań daje funkcję w postaci szeregu

00

u(x,t)= £ (a„cos_N/I^r + h„sin_x/I^t)sin_v/ż7x

gdzie:

2 '    . mtx

o

2

mix

^    -    . miA

b„ =-11p(x) sin —— dx

nna ₀    I

Po „formalnym” znalezieniu funkcji w postaci szeregu należy zbadać czy w całym przedziale szereg jest zbieżny (patrz p. 1.2.3). Metodę rozdzielenia zmiennych można stosować również dla pozostałych warunków brzegowych. Dobre wyniki daje także metoda przekształceń całkowych. Metoda ta oraz inne są szczegółowo omówione wraz z przykładami w [1.6].

1.2.8. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Rozkłady i parametry rozkładów zmiennych losowych jednowymiarowych

Jak wiadomo z podstawowego kursu rachunku prawdopodobieństwa zmienne losowe X dzielą się na zmienne typu dyskretnego i typu ciągłego [1.10].

mniejszą od x nazywa się dystrybuantą zmiennej losowej X i zapisuje się w postaci F(x) = P(X < x)

Dystrybuanta zmiennych losowych dyskretnych jest funkcją schodkową, zaś zmiennych

Funkcję F(x) równą prawdopodobieństwu tego, że zmienna X przyjmie wartość

I sowych ciągłych jest funkcją ciągłą i różniczkowalną poza co najwyżej skończoną liczbą nunktow Dystrybuantę F (x) oblicza się z następujących wzorów:

L- dla zmiennej losowej dyskretnej

F(x) = I P(X = *,)

;= i

_ dla zmiennej losowej ciągłej

F(x)=]f(x)dx

o

gdzie/(x) jest tzw. funkcją gęstości zmiennej losowej ciągłej X spełniającą — w punktach, w których funkcja F(x) jest różniczkowalną — zależność/(x) = dF(x)/dx.

Właściwości zmiennych losowych X dyskretnych i ciągłych, można określić za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa.

Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej nazywa się funkcję

p₍ = P(X = Xj), i=l,n, zaś zmiennej losowej ciągłej funkcję P(S) = J/(x) dx, gdzief(x)

s

jest funkcją rzeczywistą nieujemną w obszarze S zmienności X, będącą funkcją gęstości (lub gęstością) zmiennej losowej ciągłej X. W zastosowaniach wykorzystuje się najczęściej dla zmiennej losowej dyskretnej rozkłady: dwupunktowy, Bernoulliego i Poissona, zaś dla zmiennej losowej ciągłej rozkłady: normalny i logarytmiczno-normalny. Rzadziej stosuje się rozkłady Pearsona i Fischera-Tippetta.

Podstawowe właściwości rozkładów zmiennych losowych podano w tabl. 1.7 i 1.8.

Tablica 1.7. Rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego, wg [1.4; 1.10]

Parametr rozkładu	Rozkład
	dwupunktowy	Bernoulliego	Poissona
PM	P(x = 0) = 1 —p P(x = 1) = p	P(x = m) = ^y-(1-P)"'”	P(x = m) = m!
EM	P	np	/
D(x)	\/p(1-P)	^/np(l-p)	sA
Pl	7 7	np(l-p)(l-2p)	X

Tablica 1.8. Rozkłady zmiennych losowych typu ciągłego, wg [1.4; 1.10]

Parametr rozkładu	Rozkład
	normalny	logarytmiczno-normalny
obszar zmienności	— oc < x < co	e < x < oc
/M		1 f Pn(x-s)-p]H
	^PL ** J	(*-*)<i J
E(x)	p	£ + eP+0.55^!
DM	c	ep»0,5<r^!^/ea'_[ _ ^p + O.50^1
P3	0	e'^,+łS*V + 3lf^4)
zmienna standa ryzowana	t = ^ G	ln (x — e) —~h t = -- G