260

Jak będzie zmieniać się prędkość ruchu wagonu ze wzrostem czasu?

1184. Wahadło, składające się z niedużego ciała o masie m, zawieszonego na nici o długości /, zostało wychylone z położenia równowagi o niewielki kąt 0_o. Znaleźć równanie ruchu wahadłowego (drgań) wahadła i okres drgań (nie uwzględniając oporów ruchu i przyjmując sinO X 6).

1185*. Rozwiązać zad. 1184 przy uwzględnieniu oporu, jaki stawia powietrze, wprost proporcjonalnego do prędkości ruchu.

§11. Metoda Eulera przybliżonego całkowania równań pierwszego rzędu

Rozwiązania wielu równań różniczkowych nie można sprowadzić do całkowania znanych funkcji (czyli do kwadratur). Dlatego też duże znaczenie mają rozmaite przybliżone metody całkowania równań.

Dla równań pierwszego rzędu y' = f(x, >’) można ułożyć tabelkę przybliżonych wartości całki szczególnej, spełniającej warunek początkowy y(x₀) = y₀, lub w sposób przybliżony wykreślić krzywą całkową dla pewnego odcinka [x₀, x„] posługując się metodą Eulera.

W metodzie Eulera dany odcinek [x₀, x„] dzielony jest na n odcinków częściowych punktami x_t,x₂, ..., x„_i.

W pierwszym z odcinków częściowych [.v₀, a-J szukaną krzywą całkową, przechodzącą przez znany punkt M₀(x₀,y₀), zastępujemy styczną do tej krzywej w punkcie M₀

y-y₀ = (x-x₀)y'(x₀, y₀)

skąd dla x = Xi otrzymuje się przybliżoną wartość szukanej całki równania w punkcie x_y

Ji = yo+^j!—Xo)y(x₀,>’o) = yon-ń₀yó

Dalej w ten sam sposób znajdujemy dla odcinka [r₁,x₂] przybliżoną wartość y₂ szukanej całki w punkcie x₂

yz = yi + (X2-X_i)y’(x_l, yO = yi+h,y[

Kontynuując ten proces znajdujemy po kolei przybliżone wartości y₃,y₄,..., y„ poszukiwanej całki w punktach ,y₃, .y₄, ..., ,y„.

Ze wzrostem przy dostatecznie małej długości odcinków częściowych, metodą tą można osiągnąć dowolną, żądaną dokładność wyniku.

Zwykle dany odcinek [.y₀,.y„] dzielimy na odcinki częściowe o tej samej

długości h = ^A"~    . Wtedy wszystkie kolejne przybliżone wartości yi,yz, y„ całki równania y = f(x,y) spełniającej warunek początkowy y(x₀) = Po> oblicza się wg wzoru rekurencyjnego

yk = yk-i+hy'k-1 (k — h 2,3,..., n)    (*)

1186. Posługując się metodą Eulera ułożyć tabelkę przybliżonych wartości całki szczególnej równania y' = y^l—x^z, spełniającej warunek początkowy p(l) = 1, na odcinku [1, 2], dzieląc go na 10 równych części.

Rozwiązanie. Po wyznaczeniu długości każdego z odcinków

częściowych (czyli kroku tabelki) h ='■■ "    ° = -    ■ = 0,1 znajdujemy

punkty Xi = 1,1; x_z = 1,2;... dzielące dany odcinek na dziesięć równych części.

Następnie dla wartości x₀ = 1, y₀ = 1 znajdujemy z danego równania / = y²—x² pochodną y’₀ = 0 i ze wzoru (*) obliczamy = y₀+Al’ó = 1-Znając x_k i y_k z równania danego, znajdujemy y[ = —0,210 a ze wzoru (*) obliczamy y₂ = y_k-rhy[ = 0,9790.

Następnie wyznaczywszy wartości x₂, y₂, obliczamy y₃ = ytĄ-hy'_2% potem wyznaczywszy x₃, y₃, obliczamy y₄ — y₃+hy'₃ itd.

Wyniki obliczeń zestawiamy w tabelce:

k	**	yk	*
0	1	1	0	0
1	1,1	'1	—0,210	-0,0210
2	1,2	0,9790	-0,4816	-0,0482
3	1,3	0,9308	-0,8236	-0,0824
4	1,4	0,8484	-1,2402	-0,1240
5	1.5	0,7244	-1,7252	-0,1725
6	1,6	0,5519	-2,2554	-0,2255
7	1,7	0,3264	-2,7834	-0,2783
8	1,8	0,0481	-3,2377	-0,3238
9	1,9	,,-0,2757	-3,5340	-0,3534
10	2.0	-3,8097

Kolumny x_k i y_k stanowią szukaną tabelkę przybliżonych wartości całki danego równania, a pozostałe kolumny mają znaczenie pomocnicze.

Stosując metodę Eulera w' zad. 1187—1190 ułożyć tabelkę przybliżonych wartości całki spełniającej podany obok warunek początkowy, dzieląc na dziesięć równych części wskazany odcinek. Wszystkie rachunki przeprowadzać z dokładnością do 0,001:

523