2 13

Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa 1

Studia stacjonarne SGH 18 stycznia 2013

Imię i Nazwisko_

Grupa_Nr indeksu

1.    Z przedziału {0,1) wybieramy losowo dwa punkty liy W zależności od wartości parametru m 6 R obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia y < m + x.

2.    Z urny zawierającej 4 kule białe i 1 czarną losujemy 3 razy ze zwracaniem po dwie kule (w jednym losowaniu wyciągamy jednocześnie dwie kule). Niech A" oznacza liczbę otrzymanych par kul o różnych kolorach.

a)    Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej A'.

b)    Wyznaczyć EX i D² X.

3. Jednowymiarowa zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości

dla x € (lyOo), dla x £ (1, oo)

a)    Wyznaczyć stałą c.

b)    Wyznaczyć funkcję gęstości zmiennej Y =

c)    Obliczyć E (j^)-

4.    Niech (X„) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach

P(X_n = 0) = iP(X_n = - (łi°)) = P(Xn = (n^a)) = l

gdzie a € R. Dla jakich o ciąg (A'„) spełnia warunek Kohnogorowa⁷

5.    Dany jest ciąg (X_n) niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie funkcji gęstości

v _ / 6(x -x²) dla x e (0,1),

0 dla x £ (0,1).

Obliczyć przybliżoną wartość

/ 2000 \

P [980 <Y,X_n< 1010j .