32(1)

Lewa strona powyższego równania jest to różnica energii kinetycznej £_k koralika po przebyciu drogi d i jego energii kinetycznej £* poc, na początku drogi. Z równania (7.5) wynika więc, że zmiana energii kinetycznej w wynjfcjl działania siły jest równa F_xd. Wobec tego praca W, wykonana przez tę silę koralikiem (czyli energia przekazana mu w wyniku działania siły) wynosi:

W = F_Kd.

\ • -Ml

Jeśli znamy wartości F_x i d, to z równania lego możemy wyznaczyć pracę ty wykonaną prz.cz tę silę nad koralikiem.

Do obliczenia pracy wykonanej przez siłę nad ciałem w czasie jego przemieszczenia ■ potrzebna jest tylko składowa siły w kierunku przemieszczenia ciała. Składowa siły prostopadła do przemieszczenia nie wykonuje pracy.    J

ł*

I

J;ik widać z rysunku 7.2, składową F_x możemy zapisać jako F cos$, gdzie

0    jest kątem między kierunkami wektorów przemieszczenia d i siły F. Równanie (7.6) możemy zatem zapisać w bardziej ogólnej postaci jako:

W — Fd cos <J) (pilica wykonana pr/c/. siłę stałą).    (7.7)

Równanie to jest przydatne, gdy chcemy obliczyć pracę, znając wartości F_% d

1    <p. Jego prawa strona jest równa iloczynowi skalarnemu F d, więc możemy je również przedstawić w postaci:

W — F ■ d (praca wykonana prze/, siłę stałą)    (7.8)

(być może warto, abyś w tym miejscu przypomniał sobie iloczyn skalarny, omówiony w paragrafie 3.7). Równanie (7.8) może być przydatne zwłaszcza wtedy, gdy trzeba obliczyć pracę, mając dane F i d, zapisane za pomocą wektorów jednostkowych.

»

F

: ^ t

____*L

Rys. 7.3. Uc/c.stnik wyścigu łóżek szpitalnych. Aby obliczyć pracę wykonaną nad łóżkiem i jego pasażerem przez siłę. jaką działa na nie pchający je student, możemy założyć, że łóżko wraz z pasażerem zachowują się jak cząstka

Uwaga: Możliwość zastosowania wzorów od (7.6) do (7.8) do obliczenia pracy wykonanej nad ciałem przez siłę podlega dwóm ograniczeniom. Po pierwsze, siła musi być Mała, to znaczy, żc w czasie ruchu ciała nie może ulegać zmianie ani jej wartość, ani kierunek (przypadkiem siły zmiennej, której wartość nic jest stała zajmiemy się nieco później). Po drugie, ciało musi zachowywać się jak cząstka, to znaczy być sztywne, tak że wszystkie jego części poruszają się razem w tym samym kierunku. W tym rozdziale rozważać będziemy tylko ciała tego rodzaju. Ich przykładem może być łóżko z rysunku 7.3, wraz. z jego pasażerem.

Znak pracy. Praca wykonana przez siłę nad ciałem może być dodatnia lub ujemna. Jeśli na przykład kąt (p w równaniu (7.7) jest mniejszy od 90°, to wartość cos</> jest dodatnia, u więc praca jest również dodatnia. Jeśli natomiast kąt 4> jest większy od 90' (lecz nie większy od 180 '). to wartość cos <p jest ujemna, a więc praca jest także ujemna (czy zauważyłeś, żc praca jest równa zeru. gdy </> = 90³?)-Z tych stwierdzeń wynika prosta reguła. Aby określić znak pracy wykonanej przez siłę. należy znaleźć składową wektorową siły w kierunku przemieszczenia ciała.

144

7. Energia kinetyczna i proca

a wykonana przez siłę jest dodatnia, gdy składowa wektorowa siły w kierunku jeszcze ni a jest skierowana zgodnie z wektorem przemieszczenia, jest zaś ujemna, ^ł ;ta składowa jest skierowana przeciwnie do wektora pr/einicszczcnia. Praca jest yna zeru, gdy siła nic ma składowej w kierunku przemieszczenia.

Jednostki pracy. Jednostką pracy w układzie SI, tak samo jak energii kine-nej, jest dżul. Jak widać z równań (7.6) i (7.7) jednostkę tę można również wyrazić jako iloczyn niutona i metra (N • m). Równanie (7.2) możemy zatem wzbogacić o dodatkowi^ zależność:

t J = 1 kg ■ mVs- = 1 N

m.

(7.9)

Całkowita praca wykonana przez wiele sił. Jeśli na ciało dzialąji( dwie siły lub większa ich lic/ba, to całkowita praca wykonana nad ciałem jest suma prac

wykonanych przez poszczególne siły. Tę łączną pracę możemy obliczyć na dwa sposoby: I) możemy wyznaczyć piace wykonane przez poszczególne siły i dodać je; 2) możemy najpierw wyznaczyć wypadkową F_wyp tych sil. a następnie pracę, wykonaną przez tę silę. W drugim przypadku możemy skorzystać z równania (7.7), w którym w miejsce F podstawimy F_WVp, a w miejsce 0 — kąt utworzony przez kierunki /^rwvp i przemieszczenia ciała lub skorzystać z równania (7.8), w którym w miejsce F podstawimy b\_yp.

Praca jako zmiana energii kinetycznej

Równanie (7.5) wiąże zmianę energii kinetycznej koralika (z wartości początkowej Ey _piXZ = jmiy; na końcową Ey _kłyiK- = J»/r) z pracą W. wykonaną nad koralikiem ( — F_,d). Dla ciał o właściwościach cząstek równanie to można uogólnić. Niech A F.y będzie zmianą energii kinetycznej ciała, a W — całkowitą pracą, wykonaną nad tym ciałem. Mamy zatem związek:

A El — Ey końc - F'\i 1*V/ ” W•

(7.10)

który oznacza, że:

(

zmiana energii \    / całkowita praca \

kinetycznej cząstki/    \wykonana nad c/ą>ik«|/

Związek ten można również zapisać w postaci:

Ek knńc — Fi ,x_K._z + W.    (7.11)

która oznacza, że:

(energia kinetyczna \    / energia kinetyczna \ ^ / całkowita praca \

po wykonaniu pracy/    \przcd wykonaniem pracy/ \wykonana nad cząstką/

Stwierdzenia te są słuszne zarówno dla pracy dodatniej, jak i ujemnej. Jeśli całkowita praca wykonana nad cząstką jest dodatnia, to energia kinetyczna cząstki wzrasta o wartość tej pracy. Jeśli natomiast całkowita praca wykonana nad cząstką jest ujemna, to energia kinetyczna cząstki maleje o wartość tej pracy.

7.3. Proca i energia kinetyczna